Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5 + 6 x - 5 x^{2}}{x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 + 6 x - 5 x^{2}}{x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 + 6 x - 5 x^{2}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [5 + 6 x - 5 x^{2}] - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + 6 x - 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{x (6 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.7

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (6 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (6 - 5 (2 x)) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.9

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (6 - 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2})}{x^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 6 + x (- 10 x) - (5 + 6 x - 5 x^{2})}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 6 + x (- 10 x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$\frac{6 \cdot x + x (- 10 x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x - 10 x \cdot x - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x - 10 (x \cdot x) - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 1 \cdot 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - (6 x) - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.1.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x - (- 5 x^{2})}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x + 5 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Associez les termes opposés dans $6 x - 10 x^{2} - 5 - 6 x + 5 x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 + 0 + 5 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.2.2

Additionnez $- 10 x^{2} - 5$ et $0$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 + 5 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.3

Additionnez $- 10 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 5}{x^{2}}$

Étape 3.3.4

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{2} - 5$ .

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Étape 3.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{5 (- x^{2}) - 5}{x^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (- 1)}{x^{2}}$

Étape 3.3.4.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- x^{2}) + 5 (- 1)$ .

$\frac{5 (- x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Étape 3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{5 (- (x^{2}) - 1)}{x^{2}}$

Étape 3.3.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{5 (- (x^{2}) - 1 (1))}{x^{2}}$

Étape 3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{5 (- (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Étape 3.3.8

Réécrivez $- (x^{2} + 1)$ comme $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{5 (- 1 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Étape 3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$