Calcul infinitésimal Exemples

y = ln ({(x)}^{ln (x)})

$y = \ln ({(x)}^{\ln (x)})$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

y = ln (x^{ln (x)})

$y = \ln (x^{\ln (x)})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (ln (x^{ln (x)}))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\ln (x)}))$

Étape 3

La dérivée de

y

$y$ par rapport à

x

$x$ est

$y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

$f' (g (x)) g' (x)$ où

$f (x) = \ln (x)$ et

$g (x) = x^{\ln (x)}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

$u_{1}$ comme

$x^{\ln (x)}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Étape 4.1.2

La dérivée de

$\ln (u_{1})$ par rapport à

$u_{1}$ est

$\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de

$u_{1}$ par

$x^{\ln (x)}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Étape 4.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 4.2.1

Réécrivez

$x^{\ln (x)}$ comme

$e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Étape 4.2.2

Développez

$\ln (x^{\ln (x)})$ en déplaçant

$\ln (x)$ hors du logarithme.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Étape 4.3

Élevez

$\ln (x)$ à la puissance

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Étape 4.4

Élevez

$\ln (x)$ à la puissance

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Étape 4.6

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

$f' (g (x)) g' (x)$ où

$f (x) = e^{x}$ et

$g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Étape 4.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

$u_{2}$ comme

$\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Étape 4.7.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que

$\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est

$a^{u_{2}} \ln (a)$ où

$a$ =

$e$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Étape 4.7.3

Remplacez toutes les occurrences de

$u_{2}$ par

$\ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x^{\ln (x)}} (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Étape 4.8

Associez

$e^{\ln^{2} (x)}$ et

$\frac{1}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

$f' (g (x)) g' (x)$ où

$f (x) = x^{2}$ et

$g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 4.9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

$u_{3}$ comme

$\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est

$n {u_{3}}^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.9.3

Remplacez toutes les occurrences de

$u_{3}$ par

$\ln (x)$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.10

Associez les fractions.

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Étape 4.10.1

Associez

$2$ et

$\frac{e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.10.2

Associez

$\ln (x)$ et

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x)}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 4.11

La dérivée de

$\ln (x)$ par rapport à

$x$ est

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 4.12

Multipliez

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)}}$ par

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x}$

Étape 4.13

Multipliez

$x^{\ln (x)}$ par

$x$ .

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Étape 4.13.1

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x)} x^{1}}$

Étape 4.13.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\ln (x) (2 e^{\ln^{2} (x)})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Étape 4.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.14.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Étape 4.14.2

Simplifiez

$2 \ln (x)$ en déplaçant

$2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x^{\ln (x) + 1}}$

Étape 4.14.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans

$\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$

Étape 6

Remplacez

$y'$ par

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x^{\ln (x) + 1}}$