Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{t^{2} + 3}{t^{4} - 5 t^{2} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2} + 3$ et $g (t) = t^{4} - 5 t^{2} + 1$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t + 0) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$\frac{(t^{4} - 5 t^{2} + 1) (2 t) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $t^{4} - 5 t^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{4} - 5 t^{2} + 1]}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{4} - 5 t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 5 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t + 0)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.11

Additionnez $4 t^{3} - 10 t$ et $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 5 t^{2} + 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 t^{4} + 2 (- 5 t^{2}) + 2 \cdot 1) t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t - (t^{2} + 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $t^{4}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{4}) + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.2

Multipliez $t$ par $t^{4}$ .

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Étape 3.4.1.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{4}) + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{1 + 4} + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{2}) t + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.2.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 (t \cdot t^{2})) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 3.4.1.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 (t^{1} t^{2})) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{1 + 2}) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 5 t^{3}) + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 \cdot 1 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t + (- t^{2} - 1 \cdot 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t + (- t^{2} - 3) (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6

Développez $(- t^{2} - 3) (4 t^{3} - 10 t)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3} - 10 t) - 3 (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3} - 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{2} t^{3} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.7.1.2.1

Déplacez $t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{2}) - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{3 + 2} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.1.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 1 \cdot 4 t^{5} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - t^{2} (- 10 t) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{2} t - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.1.5

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.7.1.5.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 (t \cdot t^{2}) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.1.5.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 3.4.1.7.1.5.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 (t^{1} t^{2}) - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{1 + 2} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 10 t^{3} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 3 (4 t^{3}) - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.1.7

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 12 t^{3} - 3 (- 10 t)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.1.8

Multipliez $- 10$ par $- 3$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} + 10 t^{3} - 12 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7.2

Soustrayez $12 t^{3}$ de $10 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 4 t^{5} - 2 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $4 t^{5}$ de $2 t^{5}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 10 t^{3} + 2 t - 2 t^{3} + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $2 t^{3}$ de $- 10 t^{3}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 2 t + 30 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4

Additionnez $2 t$ et $30 t$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Factorisez $2 t$ à partir de $- 2 t^{5} - 12 t^{3} + 32 t$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $2 t$ à partir de $- 2 t^{5}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) - 12 t^{3} + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $2 t$ à partir de $- 12 t^{3}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2}) + 32 t}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $2 t$ à partir de $32 t$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2}) + 2 t (16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.4

Factorisez $2 t$ à partir de $2 t (- t^{4}) + 2 t (- 6 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 6 t^{2}) + 2 t (16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.5

Factorisez $2 t$ à partir de $2 t (- t^{4} - 6 t^{2}) + 2 t (16)$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 6 t^{2} + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 t (- {(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Laissez $u = t^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $t^{2}$ par $u$ .

$\frac{2 t (- u^{2} - 6 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.5.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ et dont la somme est $b = - 6$ .

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Étape 3.5.4.1.1

Factorisez $- 6$ à partir de $- 6 u$ .

$\frac{2 t (- u^{2} - 6 (u) + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.2

Réécrivez $- 6$ comme $2$ plus $- 8$

$\frac{2 t (- u^{2} + (2 - 8) u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t (- u^{2} + 2 u - 8 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.5.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 t ((- u^{2} + 2 u) - 8 u + 16)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 t (u (- u + 2) + 8 (- u + 2))}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 2$ .

$\frac{2 t ((- u + 2) (u + 8))}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2}$ .

$\frac{2 t (- t^{2} + 2) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- t^{2}$ .

$\frac{2 t (- (t^{2}) + 2) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 t (- (t^{2}) - 1 (- 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 t (- (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Réécrivez $- (t^{2} - 2)$ comme $- 1 (t^{2} - 2)$ .

$\frac{2 t (- 1 (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{((2 t) (t^{2} - 2)) (t^{2} + 8)}{{(t^{4} - 5 t^{2} + 1)}^{2}}$