Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{\sqrt{t}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}} - \frac{1}{\sqrt{t}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{t}$ comme $t^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{t^{2}}$ comme ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $t^{2}$ .

$- t^{- 2} + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- t^{- 2} - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t^{2}$ .

$- t^{- 2} - {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- t^{- 2} - {(t^{2})}^{- 2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 3.4

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- t^{- 2} - t^{2 \cdot - 2} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- t^{- 2} - t^{- 4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 4} t + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 3.6

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$- t^{- 2} - 2 (t^{1} t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- t^{- 2} - 2 t^{1 - 4} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 3.8

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{\sqrt{t}}]$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = - 1$ et $g (t) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4.3

Réécrivez $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.7

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 4.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.13

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - (- t^{- 1} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.14

Associez $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $t^{- 1}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{- 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15

Multipliez $t^{- \frac{1}{2}}$ par $t^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.15.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.15.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.15.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.16

Placez $t^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} - - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + 1 \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.18

Multipliez $\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ par $1$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 4.19

Multipliez $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ par $0$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} + 0$

Étape 4.20

Additionnez $\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ et $0$ .

$- t^{- 2} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - 2 t^{- 3} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} - 2 \frac{1}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7

Associez des termes.

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Étape 7.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{t^{3}}$ .

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{- 2}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{2}{t^{3}} + \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$