Calcul infinitésimal Exemples

$z = 2 x - 3 x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (2 x - 3 x y)$

Étape 2

Comme $z$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $z$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3 x y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x y$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 - 3 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 - 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 - 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 - 3 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 - 3 (x y' + y)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 - 3 (x y') - 3 y$

Étape 3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 - 3 x y' - 3 y$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 x y' - 3 y + 2$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$0 = - 3 x y' - 3 y + 2$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 x y' - 3 y + 2 = 0$ .

$- 3 x y' - 3 y + 2 = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $3 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x y' + 2 = 3 y$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x y' = 3 y - 2$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x y' = 3 y - 2$ par $- 3 x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x y' = 3 y - 2$ par $- 3 x$ .

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y'}{x} = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 y}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $- 3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$y' = \frac{3 (y)}{- 3 x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$y' = \frac{3 (y)}{3 (- x)} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 y}{3 (- x)} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 2}{- 3 x}$

Étape 5.3.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{3 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{2}{3 x}$