Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln ({(1 - t)}^{- 2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = {(1 - t)}^{- 2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(1 - t)}^{- 2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(1 - t)}^{- 2}$ .

$\frac{1}{{(1 - t)}^{- 2}} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Étape 2

Placez ${(1 - t)}^{- 2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

${(1 - t)}^{2} \frac{d}{d t} [{(1 - t)}^{- 2}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 2}$ et $g (t) = 1 - t$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - t$ .

${(1 - t)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d t} [1 - t])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

${(1 - t)}^{2} (- 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - t$ .

${(1 - t)}^{2} (- 2 {(1 - t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [1 - t])$

Étape 4

Multipliez ${(1 - t)}^{2}$ par ${(1 - t)}^{- 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez ${(1 - t)}^{- 3}$ .

${(1 - t)}^{- 3} {(1 - t)}^{2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(1 - t)}^{- 3 + 2} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Étape 4.3

Additionnez $- 3$ et $2$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [1 - t])$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]))$

Étape 6

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

Étape 7

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

${(1 - t)}^{- 1} (- 2 (- \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

${(1 - t)}^{- 1} (2 \frac{d}{d t} [t])$

Étape 9.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 - t)}^{- 1}$ .

$2 \cdot {(1 - t)}^{- 1} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 {(1 - t)}^{- 1} \cdot 1$

Étape 11

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 {(1 - t)}^{- 1}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{1 - t}$

Étape 12.2

Associez $2$ et $\frac{1}{1 - t}$ .

$\frac{2}{1 - t}$