Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (\sqrt{6 t})$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 t}$ comme ${(6 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(6 t)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2

Factorisez $6$ à partir de $6 t$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan ({(6 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $6 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\arctan (6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \arctan (t)$ et $g (t) = 6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $6^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Associez $6^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 10

Multipliez $\frac{6^{\frac{1}{2}}}{1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ par $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{(1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 2}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Déplacez $2$ à gauche de $1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 11.2

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la règle de produit à $6^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{(2 \cdot 1 + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2})) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 t^{\frac{1}{2}} + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4

Associez des termes.

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Étape 12.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 ({(6^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.2

Multipliez les exposants dans ${(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 12.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6^{1} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.3

Évaluez l’exposant.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.4

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 12.4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t^{1}) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.5

Simplifiez

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (6 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.6

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.4.7

Multipliez $t$ par $t^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.4.7.1

Déplacez $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

Étape 12.4.7.2

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $t$ .

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Étape 12.4.7.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

Étape 12.4.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 12.4.7.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 12.4.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 12.4.7.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} + 12 t^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{12 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.6.1

Factorisez $2 t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $12 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 12.6.1.1

Factorisez $2 t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $12 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12.6.1.2

Factorisez $2 t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}} (1)}$

Étape 12.6.1.3

Factorisez $2 t^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}}) + 2 t^{\frac{1}{2}} (1)$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{\frac{2}{2}} + 1)}$

Étape 12.6.2

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t^{1} + 1)}$

Étape 12.6.3

Simplifiez

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (6 t + 1)}$