Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin^{2} (e^{5 x}) + \cos^{2} (e^{5 x})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin^{2} (e^{5 x}) + \cos^{2} (e^{5 x})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (e^{5 x})]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (e^{5 x})$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (e^{5 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (e^{5 x})$ .

$2 \sin (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [\sin (e^{5 x})] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = e^{5 x}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $e^{5 x}$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{5 x}$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (e^{5 x} \cdot 5)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.7

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$2 \sin (e^{5 x}) (\cos (e^{5 x}) (5 \cdot e^{5 x})) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 2.8

Multipliez $5$ par $2$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (e^{5 x})]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (e^{5 x})$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $\cos (e^{5 x})$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (e^{5 x})]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ est $n {u_{4}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 u_{4} \frac{d}{d x} [\cos (e^{5 x})]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $\cos (e^{5 x})$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{5 x})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = e^{5 x}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $e^{5 x}$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{5}} [\cos (u_{5})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{5})$ par rapport à $u_{5}$ est $- \sin (u_{5})$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (u_{5}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $e^{5 x}$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{6}$ comme $5 x$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{6}} [e^{u_{6}}] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{6}} [a^{u_{6}}]$ est $a^{u_{6}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{u_{6}} \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{6}$ par $5 x$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]))$

Étape 3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \cdot 1)))$

Étape 3.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (e^{5 x} \cdot 5))$

Étape 3.7

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- \sin (e^{5 x}) (5 \cdot e^{5 x}))$

Étape 3.8

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} + 2 \cos (e^{5 x}) (- 5 \sin (e^{5 x}) e^{5 x})$

Étape 3.9

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x} - 10 \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) e^{5 x}$

Étape 4

Associez des termes.

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $10 \sin (e^{5 x}) \cos (e^{5 x}) e^{5 x}$ .

$10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) - 10 \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) e^{5 x}$

Étape 4.2

Soustrayez $10 \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) e^{5 x}$ de $10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$ .

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Étape 4.2.1

Déplacez $\cos (e^{5 x})$ .

$10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x}) - 10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$

Étape 4.2.2

Soustrayez $10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$ de $10 e^{5 x} \cos (e^{5 x}) \sin (e^{5 x})$ .

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