Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Étape 3.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Étape 3.1.1.2.2

Comme la fonction $e^{x}$ approche de $\infty$ , la constante positive $2$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.2.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $2$ retiré.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Étape 3.1.1.2.2.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Étape 3.1.1.2.3

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Étape 3.1.1.2.3.2

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.2.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\infty - 6}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Étape 3.1.1.2.3.2.2

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + 1}$

Étape 3.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 3.1.1.3.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 3.1.1.3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

Étape 3.1.1.3.4

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.1.3.5

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Étape 3.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x} - 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Étape 3.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{x} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Étape 3.1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Étape 3.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Étape 3.1.3.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Étape 3.1.3.5

Additionnez $2 e^{x}$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}$

Étape 3.1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 3.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 3.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 0}$

Étape 3.1.3.9

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Étape 3.1.4.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2$

Étape 4

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x} - 6}{e^{x} + 1}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Étape 4.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Étape 4.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Étape 4.2

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Étape 4.3

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + 1}$

Étape 4.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 4.4

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

Étape 4.5

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Étape 4.5.2

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 6}{0 + 1}$

Étape 4.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{0 - 6}{0 + 1}$

Étape 4.5.2.1.3

Soustrayez $6$ de $0$ .

$\frac{- 6}{0 + 1}$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{- 6}{1}$

Étape 4.5.2.3

Divisez $- 6$ par $1$ .

$- 6$

Étape 5

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 2, - 6$

Étape 6

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 2, - 6$

Aucune asymptote oblique

Étape 8