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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Déterminez où l’expression est indéfinie.
Étape 2
Étape 2.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.2
Appliquez la Règle de l’Hôpital.
Étape 2.2.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 2.2.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 2.2.1.2
Comme l’exposant approche de , la quantité approche de .
Étape 2.2.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 2.2.1.3.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.2.1.3.2
Comme l’exposant approche de , la quantité approche de .
Étape 2.2.1.3.3
Évaluez la limite.
Étape 2.2.1.3.3.1
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.2.1.3.3.2
Simplifiez la réponse.
Étape 2.2.1.3.3.2.1
Multipliez par .
Étape 2.2.1.3.3.2.2
L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.
Étape 2.2.1.3.3.2.3
L’infini divisé l’infini est indéfini.
Indéfini
Étape 2.2.1.3.3.3
L’infini divisé l’infini est indéfini.
Indéfini
Étape 2.2.1.3.4
L’infini divisé l’infini est indéfini.
Indéfini
Étape 2.2.1.4
L’infini divisé l’infini est indéfini.
Indéfini
Étape 2.2.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 2.2.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 2.2.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 2.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 2.2.3.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.3.4
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 2.2.3.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.3.6
Additionnez et .
Étape 2.2.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.2.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 2.3
Évaluez la limite.
Étape 2.3.1
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.3.2
Multipliez par .
Étape 3
Étape 3.1
Évaluez la limite.
Étape 3.1.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 3.1.2
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 3.2
Comme l’exposant approche de , la quantité approche de .
Étape 3.3
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 3.4
Comme l’exposant approche de , la quantité approche de .
Étape 3.5
Évaluez la limite.
Étape 3.5.1
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 3.5.2
Simplifiez la réponse.
Étape 3.5.2.1
Annulez le facteur commun à et .
Étape 3.5.2.1.1
Réécrivez comme .
Étape 3.5.2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.2.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.2.1.5
Annulez les facteurs communs.
Étape 3.5.2.1.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.5.2.1.5.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.5.2.1.5.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.5.2.2
Additionnez et .
Étape 3.5.2.3
Multipliez par .
Étape 3.5.2.4
Divisez par .
Étape 3.5.2.5
Multipliez par .
Étape 4
Indiquez les asymptotes horizontales :
Étape 5
Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.
Aucune asymptote oblique
Étape 6
C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.
Asymptotes verticales :
Asymptotes horizontales :
Aucune asymptote oblique
Étape 7