Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ est indéfinie.

$x = - 1, x = 1$

Étape 2

Comme $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 1$ depuis la droite, $x = - 1$ est une asymptote verticale.

$x = - 1$

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 1}$

Étape 6.1.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 1}$

Étape 6.1.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.1.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 1}$

Étape 6.1.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 1}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 6.1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$

Étape 6.2

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$1$

Étape 6.3

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

Étape 6.4

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 6.5

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 6.6

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
						$0$

Étape 6.7

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
						$0$	+	$1$

Étape 6.8

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x + \frac{1}{x + 1}$

Étape 6.9

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$x + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 6.10

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x$

Étape 8