Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x + 2)}^{\frac{6}{7}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{6}{7}}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.5.2

Soustrayez $7$ de $6$ .

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.6

Associez les fractions.

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Étape 1.1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6}{7} {(x + 2)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.6.2

Associez $\frac{6}{7}$ et ${(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}$ .

$\frac{6 {(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.6.3

Placez ${(x + 2)}^{- \frac{1}{7}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.1.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} (1 + 0)$

Étape 1.1.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

Étape 1.1.10.2

Multipliez $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{6}{7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 = 0$

Étape 2.3

Comme $6 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{{(x + 2)}^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{6}{7 \sqrt[7]{x + 2}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{6}{7 \sqrt[7]{x + 2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$7 \sqrt[7]{x + 2} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $7$ .

${(7 \sqrt[7]{x + 2})}^{7} = 0^{7}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

${(7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $7 {(x + 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

$7^{7} {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $7$ .

$823543 {({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$823543 {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$823543 {(x + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$823543 {(x + 2)}^{1} = 0^{7}$

Étape 3.3.2.2.1.4

Simplifiez

$823543 (x + 2) = 0^{7}$

Étape 3.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$823543 x + 823543 \cdot 2 = 0^{7}$

Étape 3.3.2.2.1.6

Multipliez $823543$ par $2$ .

$823543 x + 1647086 = 0^{7}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$823543 x + 1647086 = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $1647086$ des deux côtés de l’équation.

$823543 x = - 1647086$

Étape 3.3.3.2

Divisez chaque terme dans $823543 x = - 1647086$ par $823543$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $823543 x = - 1647086$ par $823543$ .

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{- 1647086}{823543}$

Étape 3.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $823543$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{823543 x}{823543} = \frac{- 1647086}{823543}$

Étape 3.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1647086}{823543}$

Étape 3.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.3.1

Divisez $- 1647086$ par $823543$ .

$x = - 2$

Étape 4

Évaluez ${(x + 2)}^{\frac{6}{7}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${((- 2) + 2)}^{\frac{6}{7}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.1.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0^{\frac{6}{7}}$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{7}$ .

${(0^{7})}^{\frac{6}{7}}$

Étape 4.1.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{7 (\frac{6}{7})}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$0^{7 (\frac{6}{7})}$

Étape 4.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$0^{6}$

Étape 4.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- 2, 0)$

Étape 5