Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{3 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite.

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Étape 3.4.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 + 0}}$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{3 + 0}{\sqrt{2 + 0}}$

Étape 3.6.1.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{3}{\sqrt{2 + 0}}$

Étape 3.6.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

Étape 3.6.3

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.4.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.6.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.6.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.6.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.6.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.6.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.6.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.6.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 2}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 4.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{- 2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{- \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.2.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4

Évaluez la limite.

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Étape 4.4.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 0}{- \sqrt{2 + 0}}$

Étape 4.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{3 + 0}{- \sqrt{2 + 0}}$

Étape 4.6.1.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{3}{- \sqrt{2 + 0}}$

Étape 4.6.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{3}{- \sqrt{2}}$

Étape 4.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{\sqrt{2}}$

Étape 4.6.4

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 4.6.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.5.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.6.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 4.6.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 4.6.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.6.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.6.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.6.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 4.6.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 8