Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$

Étape 3.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.2.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.5

Placez la limite sous le radical.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0 + 0}}$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.1.1

Additionnez $1 + 0$ et $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Étape 3.6.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Étape 3.6.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 3.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 1$

Étape 3.6.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 4.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x + 1}}$

Étape 4.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3

Évaluez la limite.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.2.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.5

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.6

Placez la limite sous le radical.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 0 + 0}}$

Étape 4.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.6.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.6.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 0 + 0}}$

Étape 4.6.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0 + 0}})$

Étape 4.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.2.1

Additionnez $1 + 0$ et $0$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}})$

Étape 4.6.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

Étape 4.6.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 (- \frac{1}{1})$

Étape 4.6.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (- \frac{1}{1})$

Étape 4.6.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.6.4

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.6.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot - 1$

Étape 4.6.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2$

Étape 5

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 2, - 2$

Étape 6

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 2, - 2$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 8