Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$ .

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} = y$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $1 - e^{x}$ .

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 - e^{x}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} (1 - e^{x}) = y (1 - e^{x})$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 + e^{x} = y (1 - e^{x})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $y (1 - e^{x})$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + e^{x} = y \cdot 1 + y (- e^{x})$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $y$ par $1$ .

$1 + e^{x} = y + y (- e^{x})$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 + e^{x} = y - y e^{x}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $y e^{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$1 + e^{x} + y e^{x} = y$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$e^{x} + y e^{x} = y - 1$

Étape 4.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} + y e^{x}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez par $1$ .

$e^{x} \cdot 1 + y e^{x} = y - 1$

Étape 4.3.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $y e^{x}$ .

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} y = y - 1$

Étape 4.3.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} \cdot 1 + e^{x} y$ .

$e^{x} (1 + y) = y - 1$

Étape 4.4

Divisez chaque terme dans $e^{x} (1 + y) = y - 1$ par $1 + y$ et simplifiez.

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Étape 4.4.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} (1 + y) = y - 1$ par $1 + y$ .

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} (1 + y)}{1 + y} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Étape 4.4.2.1.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 1}{1 + y}$

Étape 4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x} = \frac{y - 1}{1 + y}$

Étape 4.5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Étape 4.6

Développez le côté gauche.

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Étape 4.6.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Étape 4.6.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$

Étape 4.6.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (\frac{y - 1}{1 + y})$