Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\frac{x}{x - 1})$

Étape 1

Multipliez l’équation par $x - 1$ .

$(x - 1) (y) = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $(x - 1) (y)$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x y - 1 y = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$x y - y = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

Simplifiez $(\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x + \ln (\frac{x}{x - 1}) \cdot - 1$

Étape 3.1.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x - 1 \cdot \ln (\frac{x}{x - 1})$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 1 \ln (\frac{x}{x - 1})$ comme $- \ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x - \ln (\frac{x}{x - 1})$

Étape 3.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (\frac{x}{x - 1}) x - \ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = x \ln (\frac{x}{x - 1}) - \ln (\frac{x}{x - 1})$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- x \ln (\frac{x}{x - 1}) + \ln (\frac{x}{x - 1}) = - x y + y$

Étape 5

Réécrivez l’équation comme $\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$

Étape 6

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{x}{x - 1})} = e^{y}$

Étape 7

Réécrivez $\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{y} = \frac{x}{x - 1}$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Multipliez l’équation par $x - 1$ .

$(x - 1) (e^{y}) = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Simplifiez $(x - 1) (e^{y})$ .

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Étape 8.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x e^{y} - 1 e^{y} = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez $- 1 e^{y}$ comme $- e^{y}$ .

$x e^{y} - e^{y} = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x e^{y} - e^{y} = \frac{x}{x - 1} (x - 1)$

Étape 8.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x e^{y} - e^{y} = x$

Étape 8.4

Résolvez $x$ .

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Étape 8.4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x e^{y} - e^{y} - x = 0$

Étape 8.4.2

Ajoutez $e^{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$x e^{y} - x = e^{y}$

Étape 8.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x e^{y} - x$ .

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Étape 8.4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x e^{y}$ .

$x (e^{y}) - x = e^{y}$

Étape 8.4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x (e^{y}) + x \cdot - 1 = e^{y}$

Étape 8.4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (e^{y}) + x \cdot - 1$ .

$x (e^{y} - 1) = e^{y}$

Étape 8.4.4

Divisez chaque terme dans $x (e^{y} - 1) = e^{y}$ par $e^{y} - 1$ et simplifiez.

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Étape 8.4.4.1

Divisez chaque terme dans $x (e^{y} - 1) = e^{y}$ par $e^{y} - 1$ .

$\frac{x (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

Étape 8.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{y} - 1$ .

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Étape 8.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

Étape 8.4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$