Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + x - 90}{x + 5}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{2} + x - 90}{x + 5}$ est indéfinie.

$x = - 5$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Factorisez $x^{2} + x - 90$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 90$ et dont la somme est $1$ .

$- 9, 10$

Étape 5.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 9) (x + 10)}{x + 5}$

Étape 5.2

Développez $(x - 9) (x + 10)$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 10) - 9 (x + 10)}{x + 5}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 10 - 9 (x + 10)}{x + 5}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 10 - 9 x - 9 \cdot 10}{x + 5}$

Étape 5.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $10$ .

$\frac{x \cdot x + 10 x - 9 x - 9 \cdot 10}{x + 5}$

Étape 5.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x + 10 x - 9 x - 9 \cdot 10}{x + 5}$

Étape 5.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x + 10 x - 9 x - 9 \cdot 10}{x + 5}$

Étape 5.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} + 10 x - 9 x - 9 \cdot 10}{x + 5}$

Étape 5.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 10 x - 9 x - 9 \cdot 10}{x + 5}$

Étape 5.2.9

Multipliez $- 9$ par $10$ .

$\frac{x^{2} + 10 x - 9 x - 90}{x + 5}$

Étape 5.2.10

Soustrayez $9 x$ de $10 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 90}{x + 5}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$x^{2}$

$x$

$90$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$90$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$90$
			+	$x^{2}$	+	$5 x$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 5 x$

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$90$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$90$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x$

Étape 5.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$90$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x$	-	$90$

Étape 5.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	-	$4$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$90$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x$	-	$90$

Étape 5.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	-	$4$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$90$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x$	-	$90$
					-	$4 x$	-	$20$

Étape 5.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x - 20$

				$x$	-	$4$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$90$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x$	-	$90$
					+	$4 x$	+	$20$

Étape 5.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	-	$4$
$x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$x$	-	$90$
			-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$4 x$	-	$90$
					+	$4 x$	+	$20$
							-	$70$

Étape 5.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x - 4 - \frac{70}{x + 5}$

Étape 5.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x - 4$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 5$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x - 4$

Étape 7