Calcul infinitésimal Exemples

$3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$ , $0 < x < 2 π$

Étape 1

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 2

Remplacez le $3 \sin^{2} (x)$ par $3 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ de $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Étape 5

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 6

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Étape 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 9

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 9.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 10.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 11

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 12.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 12.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Étape 12.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 12.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 12.4.2

Associez les fractions.

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Étape 12.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 12.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 12.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Étape 12.4.3.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 13.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 13.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Étape 13.4

Simplifiez $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 13.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 13.4.2

Associez les fractions.

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Étape 13.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 13.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Étape 13.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Étape 13.4.3.2

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Consolidez les solutions.

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Étape 15.1

Consolidez $\frac{π}{6} + 2 π n$ et $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15.2

Consolidez $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ et $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $(0, 2 π)$ .

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Étape 16.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 16.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{6} + π (0)$

Étape 16.1.2

Simplifiez

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Étape 16.1.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Étape 16.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{6}$ et $0$ .

$\frac{π}{6}$

Étape 16.1.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 16.2

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 16.2.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (0)$

Étape 16.2.2

Simplifiez

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Étape 16.2.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Étape 16.2.2.2

Additionnez $\frac{5 π}{6}$ et $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Étape 16.2.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Étape 16.3

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 16.3.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{π}{6} + π (1)$

Étape 16.3.2

Simplifiez

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Étape 16.3.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{6} + π$

Étape 16.3.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Étape 16.3.2.3

Associez les fractions.

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Étape 16.3.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Étape 16.3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

Étape 16.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.3.2.4.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

Étape 16.3.2.4.2

Additionnez $π$ et $6 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Étape 16.3.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Étape 16.4

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 16.4.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (1)$

Étape 16.4.2

Simplifiez

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Étape 16.4.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{5 π}{6} + π$

Étape 16.4.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Étape 16.4.2.3

Associez les fractions.

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Étape 16.4.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Étape 16.4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 π + π \cdot 6}{6}$

Étape 16.4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.4.2.4.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$\frac{5 π + 6 \cdot π}{6}$

Étape 16.4.2.4.2

Additionnez $5 π$ et $6 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 16.4.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $\frac{11 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$