Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{- 8 z - 6}{9 z - 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ est $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ où $f (z) = - 8 z - 6$ et $g (z) = 9 z - 3$ .

$\frac{(9 z - 3) \frac{d}{d z} [- 8 z - 6] - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 8 z - 6$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [- 8 z] + \frac{d}{d z} [- 6]$ .

$\frac{(9 z - 3) (\frac{d}{d z} [- 8 z] + \frac{d}{d z} [- 6]) - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $- 8$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 8 z$ par rapport à $z$ est $- 8 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{(9 z - 3) (- 8 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 6]) - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(9 z - 3) (- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 6]) - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\frac{(9 z - 3) (- 8 + \frac{d}{d z} [- 6]) - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $z$ est $0$ .

$\frac{(9 z - 3) (- 8 + 0) - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $- 8$ et $0$ .

$\frac{(9 z - 3) \cdot - 8 - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $9 z - 3$ .

$\frac{- 8 \cdot (9 z - 3) - (- 8 z - 6) \frac{d}{d z} [9 z - 3]}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 z - 3$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [9 z] + \frac{d}{d z} [- 3]$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - (- 8 z - 6) (\frac{d}{d z} [9 z] + \frac{d}{d z} [- 3])}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $9$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $9 z$ par rapport à $z$ est $9 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - (- 8 z - 6) (9 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 3])}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - (- 8 z - 6) (9 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 3])}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - (- 8 z - 6) (9 + \frac{d}{d z} [- 3])}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $- 3$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $z$ est $0$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - (- 8 z - 6) (9 + 0)}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - (- 8 z - 6) \cdot 9}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{- 8 (9 z - 3) - 9 (- 8 z - 6)}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 8 (9 z) - 8 \cdot - 3 - 9 (- 8 z - 6)}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 8 (9 z) - 8 \cdot - 3 - 9 (- 8 z) - 9 \cdot - 6}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $9$ par $- 8$ .

$\frac{- 72 z - 8 \cdot - 3 - 9 (- 8 z) - 9 \cdot - 6}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 3$ .

$\frac{- 72 z + 24 - 9 (- 8 z) - 9 \cdot - 6}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 9$ .

$\frac{- 72 z + 24 + 72 z - 9 \cdot - 6}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 9$ par $- 6$ .

$\frac{- 72 z + 24 + 72 z + 54}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $- 72 z + 24 + 72 z + 54$ .

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Étape 3.3.2.1

Additionnez $- 72 z$ et $72 z$ .

$\frac{0 + 24 + 54}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $0$ et $24$ .

$\frac{24 + 54}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $24$ et $54$ .

$\frac{78}{{(9 z - 3)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $9 z - 3$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9 z$ .

$\frac{78}{{(3 (3 z) - 3)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{78}{{(3 (3 z) + 3 (- 1))}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 z) + 3 (- 1)$ .

$\frac{78}{{(3 (3 z - 1))}^{2}}$

Étape 3.4.2

Appliquez la règle de produit à $3 (3 z - 1)$ .

$\frac{78}{3^{2} {(3 z - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{78}{9 {(3 z - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $78$ et $9$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $78$ .

$\frac{3 (26)}{9 {(3 z - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 {(3 z - 1)}^{2}$ .

$\frac{3 (26)}{3 (3 {(3 z - 1)}^{2})}$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 26}{3 (3 {(3 z - 1)}^{2})}$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{26}{3 {(3 z - 1)}^{2}}$