Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x - x^{2}$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Étape 1.1.2

Complétez le carré pour $- x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Étape 1.1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.1.2.3.2.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 1.1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Étape 1.1.2.4.2.1.3

Divisez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Étape 1.1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Étape 1.1.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$e = 1$

Étape 1.1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(x - 1)}^{2} + 1$

Étape 1.1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - {(x - 1)}^{2} + 1$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 1$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(1, 1)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.5.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1, \frac{3}{4})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 1$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{5}{4}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(1, 1)$

Foyer : $(1, \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = \frac{5}{4}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(1, 1)$

Foyer : $(1, \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = \frac{5}{4}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - {(0)}^{2} + 2 (0)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - 0 + 2 (0)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0)$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 0$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 2.5.1.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Étape 2.5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 2 (- 1)$

Étape 2.5.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 2 (- 1)$

Étape 2.5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = - 1 + 2 (- 1)$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 2$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 3$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 2 (2)$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 2 (2)$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (2) = - 4 + 2 (2)$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (2) = - 4 + 4$

Étape 2.8.2

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (2) = 0$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 2 (3)$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 2 (3)$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (3) = - 9 + 2 (3)$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (3) = - 9 + 6$

Étape 2.11.2

Additionnez $- 9$ et $6$ .

$f (3) = - 3$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & - 3 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(1, 1)$

Foyer : $(1, \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 1$

Directrice : $y = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & - 3 \end{array}$

Étape 4