Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{49 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = \sqrt{49 - x^{2}}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Étape 1.2.2

Définissez $7 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Définissez $7 + x$ égal à $0$ .

$7 + x = 0$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 1.2.3

Définissez $7 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez $7 - x$ égal à $0$ .

$7 - x = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez $7 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 7$

Étape 1.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 7$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 7$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.2.3.1

Divisez $- 7$ par $- 1$ .

$x = 7$

Étape 1.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 7, 7$

Étape 1.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Étape 1.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 1.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Étape 1.2.6.1.3

Le côté gauche $- 51$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Étape 1.2.6.2.3

Le côté gauche $49$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 1.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Étape 1.2.6.3.3

Le côté gauche $- 51$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 7$ Faux

$- 7 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

$x < - 7$ Faux

$- 7 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

Étape 1.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 7 \leq x \leq 7$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 7, 7]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Notation d’intervalle :

$[- 7, 7]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Étape 2

Pour déterminer les points finaux, remplacez les bornes des valeurs $x$ du domaine par $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f (- 7) = \sqrt{(7 - 7) (7 - (- 7))}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 7) = \sqrt{(7 - 7) (7 - (- 7))}$

Étape 2.2.2

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 (7 - (- 7))}$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 (7 + 7)}$

Étape 2.2.4

Additionnez $7$ et $7$ .

$f (- 7) = \sqrt{0 \cdot 14}$

Étape 2.2.5

Multipliez $0$ par $14$ .

$f (- 7) = \sqrt{0}$

Étape 2.2.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (- 7) = \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 7) = 0$

Étape 2.2.8

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f (7) = \sqrt{(7 + 7) (7 - (7))}$

Étape 2.4

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.4.1

Supprimez les parenthèses.

$f (7) = \sqrt{(7 + 7) (7 - (7))}$

Étape 2.4.2

Additionnez $7$ et $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 (7 - (7))}$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 (7 - 7)}$

Étape 2.4.4

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f (7) = \sqrt{14 \cdot 0}$

Étape 2.4.5

Multipliez $14$ par $0$ .

$f (7) = \sqrt{0}$

Étape 2.4.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (7) = \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (7) = 0$

Étape 2.4.8

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3

Les points finaux sont $(- 7, 0), (7, 0)$ .

$(- 7, 0), (7, 0)$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $- 5$ dans $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 5, 2 \sqrt{6})$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = \sqrt{(7 - 5) (7 - (- 5))}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 5) = \sqrt{(7 - 5) (7 - (- 5))}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $5$ de $7$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 (7 - (- 5))}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 (7 + 5)}$

Étape 4.1.2.4

Additionnez $7$ et $5$ .

$f (- 5) = \sqrt{2 \cdot 12}$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $2$ par $12$ .

$f (- 5) = \sqrt{24}$

Étape 4.1.2.6

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$f (- 5) = \sqrt{4 (6)}$

Étape 4.1.2.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 5) = \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Étape 4.1.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 5) = 2 \sqrt{6}$

Étape 4.1.2.8

La réponse finale est $2 \sqrt{6}$ .

$y = 2 \sqrt{6}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $- 3$ dans $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 3, 2 \sqrt{10})$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \sqrt{(7 - 3) (7 - (- 3))}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 3) = \sqrt{(7 - 3) (7 - (- 3))}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $3$ de $7$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (7 - (- 3))}$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (7 + 3)}$

Étape 4.2.2.4

Additionnez $7$ et $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 \cdot 10}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $4$ par $10$ .

$f (- 3) = \sqrt{40}$

Étape 4.2.2.6

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 4.2.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 (10)}$

Étape 4.2.2.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 3) = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Étape 4.2.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 3) = 2 \sqrt{10}$

Étape 4.2.2.8

La réponse finale est $2 \sqrt{10}$ .

$y = 2 \sqrt{10}$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, 4 \sqrt{3})$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \sqrt{(7 - 1) (7 - (- 1))}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 1) = \sqrt{(7 - 1) (7 - (- 1))}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $1$ de $7$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 (7 - (- 1))}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 (7 + 1)}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $7$ et $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{6 \cdot 8}$

Étape 4.3.2.5

Multipliez $6$ par $8$ .

$f (- 1) = \sqrt{48}$

Étape 4.3.2.6

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.3.2.6.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$f (- 1) = \sqrt{16 (3)}$

Étape 4.3.2.6.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (- 1) = \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Étape 4.3.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 1) = 4 \sqrt{3}$

Étape 4.3.2.8

La réponse finale est $4 \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3}$

Étape 4.4

Remplacez la valeur $x$ $3$ dans $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(3, 2 \sqrt{10})$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \sqrt{(7 + 3) (7 - (3))}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (3) = \sqrt{(7 + 3) (7 - (3))}$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $7$ et $3$ .

$f (3) = \sqrt{10 (7 - (3))}$

Étape 4.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (3) = \sqrt{10 (7 - 3)}$

Étape 4.4.2.4

Soustrayez $3$ de $7$ .

$f (3) = \sqrt{10 \cdot 4}$

Étape 4.4.2.5

Multipliez $10$ par $4$ .

$f (3) = \sqrt{40}$

Étape 4.4.2.6

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 4.4.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$f (3) = \sqrt{4 (10)}$

Étape 4.4.2.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (3) = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Étape 4.4.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (3) = 2 \sqrt{10}$

Étape 4.4.2.8

La réponse finale est $2 \sqrt{10}$ .

$y = 2 \sqrt{10}$

Étape 4.5

Remplacez la valeur $x$ $5$ dans $f (x) = \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ . Dans ce cas, le point est $(5, 2 \sqrt{6})$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \sqrt{(7 + 5) (7 - (5))}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (5) = \sqrt{(7 + 5) (7 - (5))}$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $7$ et $5$ .

$f (5) = \sqrt{12 (7 - (5))}$

Étape 4.5.2.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (5) = \sqrt{12 (7 - 5)}$

Étape 4.5.2.4

Soustrayez $5$ de $7$ .

$f (5) = \sqrt{12 \cdot 2}$

Étape 4.5.2.5

Multipliez $12$ par $2$ .

$f (5) = \sqrt{24}$

Étape 4.5.2.6

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.5.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$f (5) = \sqrt{4 (6)}$

Étape 4.5.2.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (5) = \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Étape 4.5.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (5) = 2 \sqrt{6}$

Étape 4.5.2.8

La réponse finale est $2 \sqrt{6}$ .

$y = 2 \sqrt{6}$

Étape 4.6

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(- 7, 0), (7, 0), (- 5, 4.9), (- 3, 6.32), (- 1, 6.93), (1, 6.93), (3, 6.32), (5, 4.9)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 0 \\ - 5 & 4.9 \\ - 3 & 6.32 \\ - 1 & 6.93 \\ 1 & 6.93 \\ 3 & 6.32 \\ 5 & 4.9 \\ 7 & 0 \end{array}$

Étape 5