Calcul infinitésimal Exemples

$y = 14 x - 2 x^{2}$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Remettez dans l’ordre $14 x$ et $- 2 x^{2}$ .

$y = - 2 x^{2} + 14 x$

Étape 1.1.2

Complétez le carré pour $- 2 x^{2} + 14 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 2$

$b = 14$

$c = 0$

Étape 1.1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{14}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $14$ et $2$ .

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Étape 1.1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 (- 2)}$

Étape 1.1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 2}$

Étape 1.1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{7}{- 2}$

Étape 1.1.2.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{7}{2}$

Étape 1.1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{14^{2}}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.4.2.1.1

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$e = 0 - \frac{196}{- 8}$

Étape 1.1.2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun à $196$ et $- 8$ .

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Étape 1.1.2.4.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $196$ .

$e = 0 - \frac{4 (49)}{- 8}$

Étape 1.1.2.4.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.4.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.1.2.4.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.1.2.4.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{49}{- 2}$

Étape 1.1.2.4.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = 0 - - \frac{49}{2}$

Étape 1.1.2.4.2.1.5

Multipliez $- - \frac{49}{2}$ .

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Étape 1.1.2.4.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{49}{2})$

Étape 1.1.2.4.2.1.5.2

Multipliez $\frac{49}{2}$ par $1$ .

$e = 0 + \frac{49}{2}$

Étape 1.1.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{49}{2}$ .

$e = \frac{49}{2}$

Étape 1.1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$ .

$- 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$

Étape 1.1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - 2 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{2}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 2$

$h = \frac{7}{2}$

$k = \frac{49}{2}$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Étape 1.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = \frac{7}{2}$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{197}{8}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Foyer : $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Axe de symétrie : $x = \frac{7}{2}$

Directrice : $y = \frac{197}{8}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Foyer : $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Axe de symétrie : $x = \frac{7}{2}$

Directrice : $y = \frac{197}{8}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = - 2 {(3)}^{2} + 14 (3)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = - 2 \cdot 9 + 14 (3)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$f (3) = - 18 + 14 (3)$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $14$ par $3$ .

$f (3) = - 18 + 42$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 18$ et $42$ .

$f (3) = 24$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $24$ .

$24$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $24$ .

$y = 24$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - 2 {(2)}^{2} + 14 (2)$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = - 2 \cdot 4 + 14 (2)$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f (2) = - 8 + 14 (2)$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $14$ par $2$ .

$f (2) = - 8 + 28$

Étape 2.5.2

Additionnez $- 8$ et $28$ .

$f (2) = 20$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $20$ .

$20$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $20$ .

$y = 20$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = - 2 {(5)}^{2} + 14 (5)$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = - 2 \cdot 25 + 14 (5)$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$f (5) = - 50 + 14 (5)$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $14$ par $5$ .

$f (5) = - 50 + 70$

Étape 2.8.2

Additionnez $- 50$ et $70$ .

$f (5) = 20$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $20$ .

$20$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 5$ est $20$ .

$y = 20$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = - 2 {(6)}^{2} + 14 (6)$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = - 2 \cdot 36 + 14 (6)$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $- 2$ par $36$ .

$f (6) = - 72 + 14 (6)$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $14$ par $6$ .

$f (6) = - 72 + 84$

Étape 2.11.2

Additionnez $- 72$ et $84$ .

$f (6) = 12$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 6$ est $12$ .

$y = 12$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 20 \\ 3 & 24 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{2} \\ 5 & 20 \\ 6 & 12 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$

Foyer : $(\frac{7}{2}, \frac{195}{8})$

Axe de symétrie : $x = \frac{7}{2}$

Directrice : $y = \frac{197}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 20 \\ 3 & 24 \\ \frac{7}{2} & \frac{49}{2} \\ 5 & 20 \\ 6 & 12 \end{array}$

Étape 4