Calcul infinitésimal Exemples

$x = 4 + y^{2}$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $4$ et $y^{2}$ .

$x = y^{2} + 4$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $y^{2} + 4$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = 4$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.3.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Étape 2.1.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{0}{1}$

Étape 2.1.1.3.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$d = 0$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = 4 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 4 - \frac{0}{4}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Divisez $0$ par $4$ .

$e = 4 - 0$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = 4 + 0$

Étape 2.1.1.4.2.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$e = 4$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 0)}^{2} + 4$ .

${(y + 0)}^{2} + 4$

Étape 2.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = {(y + 0)}^{2} + 4$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = 4$

$k = 0$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(4, 0)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{17}{4}, 0)$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 0$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = \frac{15}{4}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(4, 0)$

Foyer : $(\frac{17}{4}, 0)$

Axe de symétrie : $y = 0$

Directrice : $x = \frac{15}{4}$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(4, 0)$

Foyer : $(\frac{17}{4}, 0)$

Axe de symétrie : $y = 0$

Directrice : $x = \frac{15}{4}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la valeur $x$ $5$ dans $f (x) = \sqrt{x - 4}$ . Dans ce cas, le point est $(5, 1)$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \sqrt{(5) - 4}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f (5) = \sqrt{1}$

Étape 3.1.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (5) = 1$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 3.1.3

Convertissez $1$ en décimale.

$= 1$

Étape 3.2

Remplacez la valeur $x$ $5$ dans $f (x) = - \sqrt{x - 4}$ . Dans ce cas, le point est $(5, - 1)$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = - \sqrt{(5) - 4}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f (5) = - \sqrt{1}$

Étape 3.2.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (5) = - 1 \cdot 1$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (5) = - 1$

Étape 3.2.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 3.2.3

Convertissez $- 1$ en décimale.

$= - 1$

Étape 3.3

Remplacez la valeur $x$ $6$ dans $f (x) = \sqrt{x - 4}$ . Dans ce cas, le point est $(6, 1.41421356)$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = \sqrt{(6) - 4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f (6) = \sqrt{2}$

Étape 3.3.2.2

La réponse finale est $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Étape 3.3.3

Convertissez $\sqrt{2}$ en décimale.

$= 1.41421356$

Étape 3.4

Remplacez la valeur $x$ $6$ dans $f (x) = - \sqrt{x - 4}$ . Dans ce cas, le point est $(6, - 1.41421356)$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = - \sqrt{(6) - 4}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $4$ de $6$ .

$f (6) = - \sqrt{2}$

Étape 3.4.2.2

La réponse finale est $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Étape 3.4.3

Convertissez $- \sqrt{2}$ en décimale.

$= - 1.41421356$

Étape 3.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 0 \\ 5 & 1 \\ 5 & - 1 \\ 6 & 1.41 \\ 6 & - 1.41 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(4, 0)$

Foyer : $(\frac{17}{4}, 0)$

Axe de symétrie : $y = 0$

Directrice : $x = \frac{15}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 0 \\ 5 & 1 \\ 5 & - 1 \\ 6 & 1.41 \\ 6 & - 1.41 \end{array}$

Étape 5