Calcul infinitésimal Exemples

$x = y^{2} - 5 y$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $y^{2} - 5 y$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{5}{2}$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.2

Soustrayez $\frac{25}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{25}{4}$

$k = \frac{5}{2}$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 6, \frac{5}{2})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = \frac{5}{2}$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - \frac{13}{2}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Foyer : $(- 6, \frac{5}{2})$

Axe de symétrie : $y = \frac{5}{2}$

Directrice : $x = - \frac{13}{2}$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Foyer : $(- 6, \frac{5}{2})$

Axe de symétrie : $y = \frac{5}{2}$

Directrice : $x = - \frac{13}{2}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la valeur $x$ $- 5.25$ dans $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . Dans ce cas, le point est $(- 5.25, 3.5)$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5.25$ dans l’expression.

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 21}}{2}$

Étape 2.1.2.1.2

Soustrayez $21$ de $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{4}}{2}$

Étape 2.1.2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Étape 2.1.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 5.25) = \frac{5 + 2}{2}$

Étape 2.1.2.1.5

Additionnez $5$ et $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun à $7$ et $2$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Réécrivez $7$ comme $1 (7)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (7)}{2}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.2.1

Réécrivez $2$ comme $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Étape 2.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Étape 2.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{7}{2}$

Étape 2.1.3

Convertissez $\frac{7}{2}$ en décimale.

$= 3.5$

Étape 2.2

Remplacez la valeur $x$ $- 5.25$ dans $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . Dans ce cas, le point est $(- 5.25, 1.5)$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5.25$ dans l’expression.

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 21}}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Soustrayez $21$ de $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{4}}{2}$

Étape 2.2.2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Étape 2.2.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 5.25) = \frac{5 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - 2}{2}$

Étape 2.2.2.1.6

Soustrayez $2$ de $5$ .

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $2$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Réécrivez $3$ comme $1 (3)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (3)}{2}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.2.1

Réécrivez $2$ comme $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Étape 2.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Étape 2.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Étape 2.2.2.3

La réponse finale est $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Étape 2.2.3

Convertissez $\frac{3}{2}$ en décimale.

$= 1.5$

Étape 2.3

Remplacez la valeur $x$ $- 4.25$ dans $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . Dans ce cas, le point est $(- 4.25, \frac{5 + \sqrt{8}}{2})$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4.25$ dans l’expression.

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 17}}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Soustrayez $17$ de $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Étape 2.3.2.2

La réponse finale est $\frac{5 + \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Étape 2.4

Remplacez la valeur $x$ $- 4.25$ dans $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . Dans ce cas, le point est $(- 4.25, \frac{5 - \sqrt{8}}{2})$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4.25$ dans l’expression.

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 17}}{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Soustrayez $17$ de $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Étape 2.4.2.2

La réponse finale est $\frac{5 - \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Étape 2.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Foyer : $(- 6, \frac{5}{2})$

Axe de symétrie : $y = \frac{5}{2}$

Directrice : $x = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Étape 4