Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{2 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 - x^{2} \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 2$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 1.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Étape 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Étape 1.2.5

Écrivez $| x | \leq \sqrt{2}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 1.2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 1.2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq \sqrt{2}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Étape 1.2.7

Résolvez $- x \leq \sqrt{2}$ quand $x < 0$ .

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Étape 1.2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq \sqrt{2}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Étape 1.2.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Étape 1.2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - \sqrt{2}$ et $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Étape 1.2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Notation d’intervalle :

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Étape 2

Pour déterminer les points finaux, remplacez les bornes des valeurs $x$ du domaine par $f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{2 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 2.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 2.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.2.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

Étape 2.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 2.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0}$

Étape 2.2.5.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.5.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \cdot 0$

Étape 2.2.6

Multipliez $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0$

Étape 2.2.7

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

Étape 2.4.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 2.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 2.4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Étape 2.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Étape 2.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

Étape 2.4.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 1 \cdot 2)}$

Étape 2.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

Étape 2.4.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Étape 2.4.3.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0}$

Étape 2.4.3.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\sqrt{2}) = 0$

Étape 2.4.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3

Les points finaux sont $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$ .

$(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$

Étape 4

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Étape 5