Calcul infinitésimal Exemples

$- 4 x^{2} - y^{2} + 6 x + 2 y - y + 16 - 10 x - 27 + 3 y + 5 - 3 y^{2} + 5 x^{2} - y^{2} = 9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60$

Étape 1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 = x^{2} - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} = - 5 y^{2} - 4 x + 4 y - 6$

Étape 2.2

Ajoutez $5 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} = - 4 x + 4 y - 6$

Étape 2.3

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x = 4 y - 6$

Étape 2.4

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$9 - 6 y^{2} - 4 y - 30 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Étape 2.5

Soustrayez $30$ de $9$ .

$- 6 y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 5 y^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Étape 2.6

Additionnez $- 6 y^{2}$ et $5 y^{2}$ .

$- y^{2} - 4 y - 21 + 10 x + 17 + y - 3 y - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Étape 2.7

Additionnez $- 4 y$ et $y$ .

$- y^{2} - 3 y - 21 + 10 x + 17 - 3 y - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Étape 2.8

Soustrayez $3 y$ de $- 3 y$ .

$- y^{2} - 6 y - 21 + 10 x + 17 - 60 - x^{2} + 4 x - 4 y = - 6$

Étape 2.9

Soustrayez $4 y$ de $- 6 y$ .

$- y^{2} - 10 y - 21 + 10 x + 17 - 60 - x^{2} + 4 x = - 6$

Étape 2.10

Additionnez $- 21$ et $17$ .

$- y^{2} - 10 y + 10 x - 4 - 60 - x^{2} + 4 x = - 6$

Étape 2.11

Additionnez $10 x$ et $4 x$ .

$- y^{2} - 10 y + 14 x - 4 - 60 - x^{2} = - 6$

Étape 2.12

Soustrayez $60$ de $- 4$ .

$- y^{2} - 10 y + 14 x - 64 - x^{2} = - 6$

Étape 2.13

Déplacez $- 64$ .

$- y^{2} - 10 y + 14 x - x^{2} - 64 = - 6$

Étape 2.14

Déplacez $- 10 y$ .

$- y^{2} + 14 x - x^{2} - 10 y - 64 = - 6$

Étape 2.15

Déplacez $14 x$ .

$- y^{2} - x^{2} + 14 x - 10 y - 64 = - 6$

Étape 2.16

Remettez dans l’ordre $- y^{2}$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y - 64 = - 6$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas de variable du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y = - 6 + 64$

Étape 3.2

Additionnez $- 6$ et $64$ .

$- x^{2} - y^{2} + 14 x - 10 y = 58$

Étape 4

Divisez les deux côtés de l’équation par $- 1$ .

$x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$

Étape 5

Complétez le carré pour $x^{2} - 14 x$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 14$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 14}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 7}{1}$

Étape 5.3.2.2.4

Divisez $- 7$ par $1$ .

$d = - 7$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 14)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{196}{4}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $196$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$e = 0 - 49$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $49$ de $0$ .

$e = - 49$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 7)}^{2} - 49$ .

${(x - 7)}^{2} - 49$

Étape 6

Remplacez $x^{2} - 14 x$ par ${(x - 7)}^{2} - 49$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$ .

${(x - 7)}^{2} - 49 + y^{2} + 10 y = - 58$

Étape 7

Déplacez $- 49$ du côté droit de l’équation en ajoutant $49$ des deux côtés.

${(x - 7)}^{2} + y^{2} + 10 y = - 58 + 49$

Étape 8

Complétez le carré pour $y^{2} + 10 y$ .

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Étape 8.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Étape 8.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 8.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 8.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{1}$

Étape 8.3.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$d = 5$

Étape 8.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 8.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.2.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Étape 8.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Étape 8.4.2.1.3

Divisez $100$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Étape 8.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$e = 0 - 25$

Étape 8.4.2.2

Soustrayez $25$ de $0$ .

$e = - 25$

Étape 8.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 5)}^{2} - 25$ .

${(y + 5)}^{2} - 25$

Étape 9

Remplacez $y^{2} + 10 y$ par ${(y + 5)}^{2} - 25$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 14 x + 10 y = - 58$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} - 25 = - 58 + 49$

Étape 10

Déplacez $- 25$ du côté droit de l’équation en ajoutant $25$ des deux côtés.

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 58 + 49 + 25$

Étape 11

Simplifiez $- 58 + 49 + 25$ .

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Étape 11.1

Additionnez $- 58$ et $49$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = - 9 + 25$

Étape 11.2

Additionnez $- 9$ et $25$ .

${(x - 7)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 16$

Étape 12

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 13

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = 4$

$h = 7$

$k = - 5$

Étape 14

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(7, - 5)$

Étape 15

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(7, - 5)$

Rayon : $4$

Étape 16