Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} + y^{2} = 12$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme par $12$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{2 x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = \sqrt{6}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$\sqrt{12 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Étape 5.3.4

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 5.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{12 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{12 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{12 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{12 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{12 - 6^{1}}$

Étape 5.3.4.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{12 - 1 \cdot 6}$

Étape 5.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\sqrt{12 - 6}$

Étape 5.3.5.2

Soustrayez $6$ de $12$ .

$\sqrt{6}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 + 2 \sqrt{3})$

Étape 6.3

Simplifiez

$(0, 2 \sqrt{3})$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 - (2 \sqrt{3}))$

Étape 6.6

Simplifiez

$(0, - 2 \sqrt{3})$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 + \sqrt{6})$

Étape 7.3

Simplifiez

$(0, \sqrt{6})$

Étape 7.4

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0, 0 - (\sqrt{6}))$

Étape 7.6

Simplifiez

$(0, - \sqrt{6})$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{6})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 8.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{12 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{12 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{12 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{12 - 6^{1}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 6}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{12 - 6}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.7

Soustrayez $6$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2

Associez $\sqrt{6}$ et $\sqrt{3}$ en un radical unique.

$\frac{\sqrt{\frac{6}{3}}}{2}$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 8.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3}}}{2}$

Étape 8.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}{2}$

Étape 8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}{2}$

Étape 8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{\frac{2}{1}}}{2}$

Étape 8.3.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{6})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10