Calcul infinitésimal Exemples

x e^{x}

$x e^{x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression

x e^{x}

$x e^{x}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez

lim x \to - \infty x e^{x}

$lim_{x \to - \infty} x e^{x}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Réécrivez

x e^{x}

$x e^{x}$ comme

\frac{x}{e^{- x}}

$\frac{x}{e^{- x}}$ .

lim x \to - \infty \frac{x}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Étape 3.2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

\frac{lim x \to - \infty x}{lim x \to - \infty e^{- x}}

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Étape 3.2.1.2

La limite à l’infini négatif d’un polynôme de degré impair dont le coefficient directeur est positif à l’infini négatif.

\frac{- \infty}{lim x \to - \infty e^{- x}}

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Étape 3.2.1.3

Comme l’exposant

- x

$- x$ approche de

\infty

$\infty$ , la quantité

e^{- x}

$e^{- x}$ approche de

\infty

$\infty$ .

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 3.2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 3.2.2

Comme

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

lim x \to - \infty \frac{x}{e^{- x}} = lim x \to - \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Étape 3.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

lim x \to - \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

lim x \to - \infty \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Étape 3.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

$f' (g (x)) g' (x)$ où

$f (x) = e^{x}$ et

$g (x) = - x$ .

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Étape 3.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

$u$ comme

$- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est

$a^{u} \ln (a)$ où

$a$ =

$e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

$- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.2.3.4

Comme

$- 1$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- x$ par rapport à

$x$ est

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Étape 3.2.3.6

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Étape 3.2.3.7

Déplacez

$- 1$ à gauche de

$e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Étape 3.2.3.8

Réécrivez

$- 1 e^{- x}$ comme

$- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun à

$1$ et

$- 1$ .

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Étape 3.2.4.1

Réécrivez

$1$ comme

$- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Étape 3.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Étape 3.3

Placez le terme

$- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à

$x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Étape 3.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction

$\frac{1}{e^{- x}}$ approche de

$0$ .

$- 0$

Étape 3.5

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$0$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales :

$y = 0$

Aucune asymptote oblique

Étape 7