Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} e^{- x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $x^{2} e^{- x}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} x^{2} e^{- x}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Réécrivez $x^{2} e^{- x}$ comme $\frac{x^{2}}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

Étape 3.2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 3.2.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 3.2.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.2.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

Étape 3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Étape 3.4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 3.4.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 3.4.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.4.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.4.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Étape 3.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{x}}$ approche de $0$ .

$2 \cdot 0$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$0$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Aucune asymptote oblique

Étape 7