Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $x^{2} + 4$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.8

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.10

Réécrivez $- (x^{2} - 2 x - 4)$ comme $- 1 (x^{2} - 2 x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 2 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x^{2} - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.3.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Étape 2.3.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 2.3.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Étape 2.3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Étape 2.3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1 + \sqrt{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1 + \sqrt{5}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{5}) - 1}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Étape 4.1.2.1.2

Additionnez $0$ et $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{5})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ .

$\frac{\sqrt{5}}{(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Étape 4.1.2.2.2

Développez $(1 + \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5}}{1 (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Étape 4.1.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} (1 + \sqrt{5}) + 4}$

Étape 4.1.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Étape 4.1.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + 1 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Étape 4.1.2.2.3.1.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 1 + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Étape 4.1.2.2.3.1.3

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Étape 4.1.2.2.3.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5} + 4}$

Étape 4.1.2.2.3.1.5

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{25} + 4}$

Étape 4.1.2.2.3.1.6

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}} + 4}$

Étape 4.1.2.2.3.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 5 + 4}$

Étape 4.1.2.2.3.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + 4}$

Étape 4.1.2.2.3.3

Additionnez $\sqrt{5}$ et $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5} + 4}$

Étape 4.1.2.2.4

Additionnez $6$ et $4$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ par $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ par $\frac{10 - 2 \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{(10 + 2 \sqrt{5}) (10 - 2 \sqrt{5})}$

Étape 4.1.2.5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{100 - 20 \sqrt{5} + 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez

$\frac{\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})}{80}$

Étape 4.1.2.7

Annulez le facteur commun à $10 - 2 \sqrt{5}$ et $80$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $\sqrt{5} (10 - 2 \sqrt{5})$ .

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{80}$

Étape 4.1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $80$ .

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 (40)}$

Étape 4.1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\sqrt{5} (5 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

Étape 4.1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{40}$

Étape 4.1.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

Étape 4.1.2.9

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{5}$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{40}$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.10.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{40}$

Étape 4.1.2.10.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{40}$

Étape 4.1.2.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{40}$

Étape 4.1.2.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{40}$

Étape 4.1.2.11

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.11.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.11.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{40}$

Étape 4.1.2.11.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{40}$

Étape 4.1.2.11.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

Étape 4.1.2.11.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.11.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{40}$

Étape 4.1.2.11.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt{5} - 5^{1}}{40}$

Étape 4.1.2.11.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{40}$

Étape 4.1.2.11.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 \sqrt{5} - 5}{40}$

Étape 4.1.2.12

Annulez le facteur commun à $5 \sqrt{5} - 5$ et $40$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.12.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{5 (\sqrt{5}) - 5}{40}$

Étape 4.1.2.12.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)}{40}$

Étape 4.1.2.12.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (\sqrt{5}) + 5 (- 1)$ .

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{40}$

Étape 4.1.2.12.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.12.4.1

Factorisez $5$ à partir de $40$ .

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 (8)}$

Étape 4.1.2.12.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (\sqrt{5} - 1)}{5 \cdot 8}$

Étape 4.1.2.12.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5} - 1}{8}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 1 - \sqrt{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $1 - \sqrt{5}$ .

$\frac{(1 - \sqrt{5}) - 1}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 - \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Étape 4.2.2.1.2

Soustrayez $\sqrt{5}$ de $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{{(1 - \sqrt{5})}^{2} + 4}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Réécrivez ${(1 - \sqrt{5})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Étape 4.2.2.2.2

Développez $(1 - \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 (1 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Étape 4.2.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (1 - \sqrt{5}) + 4}$

Étape 4.2.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Étape 4.2.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 1 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.2

Multipliez $- \sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 1 - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5}) + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5} + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2} + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}} + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5^{1} + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 5 + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 4}$

Étape 4.2.2.2.3.3

Soustrayez $\sqrt{5}$ de $- \sqrt{5}$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5} + 4}$

Étape 4.2.2.2.4

Additionnez $6$ et $4$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Étape 4.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ par $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ .

$- (\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}})$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{10 - 2 \sqrt{5}}$ par $\frac{10 + 2 \sqrt{5}}{10 + 2 \sqrt{5}}$ .

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{(10 - 2 \sqrt{5}) (10 + 2 \sqrt{5})}$

Étape 4.2.2.5.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{100 + 20 \sqrt{5} - 20 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4.2.2.5.3

Simplifiez

$- \frac{\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})}{80}$

Étape 4.2.2.5.4

Annulez le facteur commun à $10 + 2 \sqrt{5}$ et $80$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $\sqrt{5} (10 + 2 \sqrt{5})$ .

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{80}$

Étape 4.2.2.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.5.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $80$ .

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 (40)}$

Étape 4.2.2.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (\sqrt{5} (5 + \sqrt{5}))}{2 \cdot 40}$

Étape 4.2.2.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{5} (5 + \sqrt{5})}{40}$

Étape 4.2.2.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

Étape 4.2.2.5.6

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{5}$ .

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{40}$

Étape 4.2.2.5.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{40}$

Étape 4.2.2.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.6.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{40}$

Étape 4.2.2.6.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{40}$

Étape 4.2.2.6.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{5 \sqrt{5} + 5}{40}$

Étape 4.2.2.7

Annulez le facteur commun à $5 \sqrt{5} + 5$ et $40$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.7.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{5}$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5}{40}$

Étape 4.2.2.7.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5}) + 5 (1)}{40}$

Étape 4.2.2.7.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (\sqrt{5}) + 5 (1)$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{40}$

Étape 4.2.2.7.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.7.4.1

Factorisez $5$ à partir de $40$ .

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 (8)}$

Étape 4.2.2.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5 (\sqrt{5} + 1)}{5 \cdot 8}$

Étape 4.2.2.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{5} + 1}{8}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(1 + \sqrt{5}, \frac{\sqrt{5} - 1}{8}), (1 - \sqrt{5}, - \frac{\sqrt{5} + 1}{8})$

Étape 5