Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x + 6}{x + 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 6$ et $g (x) = x + 4$ .

$\frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 4) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $x + 4$ par $1$ .

$\frac{x + 4 - (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x + 4 - (x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x + 4 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x + 4 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x + 4 - (x + 6) \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + 4 - (x + 6)}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 4 - x - 1 \cdot 6}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x + 4 - x - 1 \cdot 6$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 4 - 1 \cdot 6}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 6}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{4 - 6}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.3

Soustrayez $6$ de $4$ .

$\frac{- 2}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{{(x + 4)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 4

Évaluez $\frac{x + 6}{x + 4}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$\frac{(- 4) + 6}{(- 4) + 4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{(- 4) + 6}{0}$

Étape 4.1.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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