Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{7}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$f' (x) = x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

Étape 1.1.3.6

Déplacez $8$ à gauche de ${(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot ({(x - 1)}^{7} x^{7})$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Factorisez $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ à partir de $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Factorisez $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ à partir de $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Étape 1.1.4.1.2

Factorisez $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ à partir de $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

Étape 1.1.4.1.3

Factorisez $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ à partir de $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

Étape 1.1.4.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{7} = 0$

${(x - 1)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{7}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{7}$ égal à $0$ .

$x^{7} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{7} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\sqrt[7]{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{7}$ .

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x - 1)}^{6}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x - 1)}^{6}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{6} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x - 1)}^{6} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $7 x + 8 (x - 1)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $7 x + 8 (x - 1)$ égal à $0$ .

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $7 x + 8 (x - 1) = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez $7 x + 8 (x - 1)$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0$

Étape 2.5.2.1.1.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$7 x + 8 x - 8 = 0$

Étape 2.5.2.1.2

Additionnez $7 x$ et $8 x$ .

$15 x - 8 = 0$

Étape 2.5.2.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$15 x = 8$

Étape 2.5.2.3

Divisez chaque terme dans $15 x = 8$ par $15$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.3.1

Divisez chaque terme dans $15 x = 8$ par $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Étape 2.5.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 2.5.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Étape 2.5.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{15}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ vraie.

$x = 0, 1, \frac{8}{15}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{8} {(x - 1)}^{7}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{8} {((0) - 1)}^{7}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 {((0) - 1)}^{7}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$0 {(- 1)}^{7}$

Étape 4.1.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$0 \cdot - 1$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{8} {((1) - 1)}^{7}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 {((1) - 1)}^{7}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez ${((1) - 1)}^{7}$ par $1$ .

${((1) - 1)}^{7}$

Étape 4.2.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0^{7}$

Étape 4.2.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{8}{15}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{8}{15}$ .

${(\frac{8}{15})}^{8} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8^{8}}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Étape 4.3.2.2

Élevez $8$ à la puissance $8$ .

$\frac{16777216}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Étape 4.3.2.3

Élevez $15$ à la puissance $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Étape 4.3.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

Étape 4.3.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Étape 4.3.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Étape 4.3.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 15}{15})}^{7}$

Étape 4.3.2.7.2

Soustrayez $15$ de $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{- 7}{15})}^{7}$

Étape 4.3.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{16777216}{2562890625} {(- \frac{7}{15})}^{7}$

Étape 4.3.2.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.2.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{7}{15})}^{7})$

Étape 4.3.2.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Étape 4.3.2.10

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Étape 4.3.2.11

Élevez $7$ à la puissance $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{15^{7}})$

Étape 4.3.2.12

Élevez $15$ à la puissance $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$

Étape 4.3.2.13

Multipliez $\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$ .

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Étape 4.3.2.13.1

Multipliez $\frac{16777216}{2562890625}$ par $\frac{823543}{170859375}$ .

$- \frac{16777216 \cdot 823543}{2562890625 \cdot 170859375}$

Étape 4.3.2.13.2

Multipliez $16777216$ par $823543$ .

$- \frac{13816758796288}{2562890625 \cdot 170859375}$

Étape 4.3.2.13.3

Multipliez $2562890625$ par $170859375$ .

$- \frac{13816758796288}{437893890380859375}$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{8}{15}, - \frac{13816758796288}{437893890380859375})$

Étape 5