Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} (4 x^{3})$

Étape 1.1.3.6

Déplacez $4$ à gauche de ${(x - 1)}^{3}$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 \cdot {(x - 1)}^{3} x^{3}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Factorisez $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ à partir de $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Factorisez $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ à partir de $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2})$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$

Étape 1.1.4.1.2

Factorisez $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ à partir de $4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.1.3

Factorisez $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ à partir de $x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3) + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.3

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.4

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.5.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{3} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.5.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.5.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{3} (x^{2} - x - x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.5.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} x^{2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.7

Simplifiez

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Étape 1.1.4.7.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.7.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{3 + 2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.7.1.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$(x^{5} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.7.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.8

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.8.1

Déplacez $x$ .

$(x^{5} - 2 (x \cdot x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.8.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.1.4.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{5} - 2 (x^{1} x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{5} - 2 x^{1 + 3} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.8.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Étape 1.1.4.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x + 4 \cdot - 1)$

Étape 1.1.4.9.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x - 4)$

Étape 1.1.4.10

Additionnez $3 x$ et $4 x$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$

Étape 1.1.4.11

Développez $(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{5} (7 x) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 x^{5} x + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.2

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.12.2.1

Déplacez $x$ .

$7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.2.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 1.1.4.12.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.2.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$7 x^{6} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{5}$ .

$7 x^{6} - 4 \cdot x^{5} - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.5

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.12.5.1

Déplacez $x$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x \cdot x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.5.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.1.4.12.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x^{1} x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{1 + 4} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.5.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.6

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.7

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.9

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.12.9.1

Déplacez $x$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.9.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.1.4.12.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.9.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} + x^{3} \cdot - 4$

Étape 1.1.4.12.10

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{3}$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

Étape 1.1.4.13

Soustrayez $14 x^{5}$ de $- 4 x^{5}$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

Étape 1.1.4.14

Additionnez $8 x^{4}$ et $7 x^{4}$ .

$f' (x) = 7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $7 x^{6}$ .

$x^{3} (7 x^{3}) - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 18 x^{5}$ .

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $15 x^{4}$ .

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) - 4 x^{3} = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2})$ .

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x)$ .

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

Étape 2.2.1.7

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4$ .

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 7$

Étape 2.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}$

Étape 2.2.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$7 \cdot 1^{3} - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

Étape 2.2.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$7 \cdot 1 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

Étape 2.2.2.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

Étape 2.2.2.3.4

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$7 - 18 \cdot 1 + 15 \cdot 1 - 4$

Étape 2.2.2.3.5

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$7 - 18 + 15 \cdot 1 - 4$

Étape 2.2.2.3.6

Soustrayez $18$ de $7$ .

$- 11 + 15 \cdot 1 - 4$

Étape 2.2.2.3.7

Multipliez $15$ par $1$ .

$- 11 + 15 - 4$

Étape 2.2.2.3.8

Additionnez $- 11$ et $15$ .

$4 - 4$

Étape 2.2.2.3.9

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 2.2.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4}{x - 1}$

Étape 2.2.2.5

Divisez $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ par $x - 1$ .

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Étape 2.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$18 x^{2}$

$15 x$

$4$

Étape 2.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$7 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$

Étape 2.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Étape 2.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 x^{3} - 7 x^{2}$

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Étape 2.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

Étape 2.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

Étape 2.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 11 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

Étape 2.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$

Étape 2.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 11 x^{2} + 11 x$

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$

Étape 2.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$

Étape 2.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Étape 2.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Étape 2.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Étape 2.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x - 4$

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Étape 2.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

Étape 2.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$7 x^{2} - 11 x + 4$

Étape 2.2.2.6

Écrivez $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot 4 = 28$ et dont la somme est $b = - 11$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.1.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

Étape 2.2.3.1.1.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $- 4$ plus $- 7$

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} + (- 4 - 7) x + 4)) = 0$

Étape 2.2.3.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 4 x - 7 x + 4)) = 0$

Étape 2.2.3.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x^{3} ((x - 1) ((7 x^{2} - 4 x) - 7 x + 4)) = 0$

Étape 2.2.3.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{3} ((x - 1) (x (7 x - 4) - (7 x - 4))) = 0$

Étape 2.2.3.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 x - 4$ .

$x^{3} ((x - 1) ((7 x - 4) (x - 1))) = 0$

Étape 2.2.3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{3} ((x - 1) (7 x - 4) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{3} (x - 1) (7 x - 4) (x - 1) = 0$

Étape 2.2.4

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

Étape 2.2.4.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

Étape 2.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} {(x - 1)}^{1 + 1} (7 x - 4) = 0$

Étape 2.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$7 x - 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

Définissez $7 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Définissez $7 x - 4$ égal à $0$ .

$7 x - 4 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $7 x - 4 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x = 4$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = 4$ par $7$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = 4$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Étape 2.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{7}$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 1, \frac{4}{7}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{4} {(x - 1)}^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{4} {((0) - 1)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 {((0) - 1)}^{3}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$0 {(- 1)}^{3}$

Étape 4.1.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 \cdot - 1$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{4} {((1) - 1)}^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 {((1) - 1)}^{3}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez ${((1) - 1)}^{3}$ par $1$ .

${((1) - 1)}^{3}$

Étape 4.2.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0^{3}$

Étape 4.2.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{4}{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{4}{7}$ .

${(\frac{4}{7})}^{4} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{7}$ .

$\frac{4^{4}}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Étape 4.3.2.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\frac{256}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Étape 4.3.2.3

Élevez $7$ à la puissance $4$ .

$\frac{256}{2401} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Étape 4.3.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7})}^{3}$

Étape 4.3.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

Étape 4.3.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

Étape 4.3.2.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 7}{7})}^{3}$

Étape 4.3.2.7.2

Soustrayez $7$ de $4$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{- 3}{7})}^{3}$

Étape 4.3.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{256}{2401} {(- \frac{3}{7})}^{3}$

Étape 4.3.2.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{7}$ .

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{7})}^{3})$

Étape 4.3.2.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{7}$ .

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{7^{3}})$

Étape 4.3.2.10

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{256}{2401} (- \frac{3^{3}}{7^{3}})$

Étape 4.3.2.11

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{7^{3}})$

Étape 4.3.2.12

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$

Étape 4.3.2.13

Multipliez $\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.13.1

Multipliez $\frac{256}{2401}$ par $\frac{27}{343}$ .

$- \frac{256 \cdot 27}{2401 \cdot 343}$

Étape 4.3.2.13.2

Multipliez $256$ par $27$ .

$- \frac{6912}{2401 \cdot 343}$

Étape 4.3.2.13.3

Multipliez $2401$ par $343$ .

$- \frac{6912}{823543}$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{4}{7}, - \frac{6912}{823543})$

Étape 5