Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + \frac{108}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $108$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{108}{x}$ par rapport à $x$ est $108 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 1.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 x + 108 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $108$ .

$f' (x) = 4 x - 108 x^{- 2}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 x - 108 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.2.1

Associez $- 108$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{- 108}{x^{2}}$

Étape 1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 4 x - \frac{108}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x - \frac{108}{x^{2}}$ .

$4 x - \frac{108}{x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$4 x \cdot x^{2} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{2 + 1} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 x^{3} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{108}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{3} - 108 = 0 x^{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 108 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Ajoutez $108$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} = 108$

Étape 2.4.2

Soustrayez $108$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} - 108 = 0$

Étape 2.4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} - 108$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 108 = 0$

Étape 2.4.3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 108$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 27 = 0$

Étape 2.4.3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} + 4 \cdot - 27$ .

$4 (x^{3} - 27) = 0$

Étape 2.4.3.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$4 (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Étape 2.4.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 2.4.3.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.4.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.4.1.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Étape 2.4.3.4.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Étape 2.4.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Étape 2.4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 2.4.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.4.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.4.6

Définissez $x^{2} + 3 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.1

Définissez $x^{2} + 3 x + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 2.4.6.2

Résolvez $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.4.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.6.2.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.6.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.4.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.4.6.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.6.2.5.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.6.2.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.6.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.4.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 2.4.6.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ vraie.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{108}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$2 {(3)}^{2} + \frac{108}{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot 9 + \frac{108}{3}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 + \frac{108}{3}$

Étape 4.1.2.1.3

Divisez $108$ par $3$ .

$18 + 36$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $18$ et $36$ .

$54$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$2 {(0)}^{2} + \frac{108}{0}$

Étape 4.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(3, 54)$

Étape 5