Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 10 x^{2} - 6 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 10 x^{2} - 6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$6 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 20 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{2} - 20 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$6 x^{2} - 20 x - 6 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} - 20 x - 6 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $6 x^{2} - 20 x - 6$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 20 x - 6$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 20 x - 6$ .

$6 x^{2} - 20 x - 6$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 20 x - 6 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} - 20 x - 6 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2} - 20 x - 6$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) - 20 x - 6 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 20 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) - 6 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- 3) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2}) + 2 (- 10 x)$ .

$2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (- 3) = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2} - 10 x) + 2 (- 3)$ .

$2 (3 x^{2} - 10 x - 3) = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{2} - 10 x - 3) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (3 x^{2} - 10 x - 3) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 10 x - 3$ par $1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 3 = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$3 x^{2} - 10 x - 3 = 0$

Étape 2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 10$ et $c = - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 3$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 36}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.3

Additionnez $100$ et $36$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $136$ comme $2^{2} \cdot 34$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $136$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 3$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 36}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.3

Additionnez $100$ et $36$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $136$ comme $2^{2} \cdot 34$ .

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Étape 2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $136$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$

Étape 2.7.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}$

Étape 2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{5 + \sqrt{34}}{3}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot - 3$ .

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Étape 2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $- 3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 36}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.3

Additionnez $100$ et $36$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.4

Réécrivez $136$ comme $2^{2} \cdot 34$ .

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Étape 2.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $136$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (34)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 34}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$

Étape 2.8.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{34}}{6}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{34}}{3}$

Étape 2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{5 - \sqrt{34}}{3}$

Étape 2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{5 + \sqrt{34}}{3}, \frac{5 - \sqrt{34}}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $2 x^{3} - 10 x^{2} - 6 x + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{5 + \sqrt{34}}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 + \sqrt{34}}{3}$ .

$2 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 + \sqrt{34}}{3}$ .

$2 \frac{{(5 + \sqrt{34})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$2 \frac{{(5 + \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$2 \frac{5^{3} + 3 \cdot 5^{2} \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.4.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$2 \frac{125 + 3 \cdot 5^{2} \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$2 \frac{125 + 3 \cdot 25 \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.3

Multipliez $3$ par $25$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 {\sqrt{34}}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.5

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

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Étape 4.1.2.1.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{1} + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34 + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.6

Multipliez $15$ par $34$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.7

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{3}$ comme $\sqrt{34^{3}}$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + \sqrt{34^{3}}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.8

Élevez $34$ à la puissance $3$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + \sqrt{39304}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.9

Réécrivez $39304$ comme $34^{2} \cdot 34$ .

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Étape 4.1.2.1.4.9.1

Factorisez $1156$ à partir de $39304$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + \sqrt{1156 (34)}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.9.2

Réécrivez $1156$ comme $34^{2}$ .

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + \sqrt{34^{2} \cdot 34}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.4.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \frac{125 + 75 \sqrt{34} + 510 + 34 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.5

Additionnez $125$ et $510$ .

$2 \frac{635 + 75 \sqrt{34} + 34 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.6

Additionnez $75 \sqrt{34}$ et $34 \sqrt{34}$ .

$2 \frac{635 + 109 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.7

Associez $2$ et $\frac{635 + 109 \sqrt{34}}{27}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 {(\frac{5 + \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 + \sqrt{34}}{3}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{{(5 + \sqrt{34})}^{2}}{3^{2}} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{{(5 + \sqrt{34})}^{2}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.10

Réécrivez ${(5 + \sqrt{34})}^{2}$ comme $(5 + \sqrt{34}) (5 + \sqrt{34})$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{(5 + \sqrt{34}) (5 + \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.11

Développez $(5 + \sqrt{34}) (5 + \sqrt{34})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 (5 + \sqrt{34}) + \sqrt{34} (5 + \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34} (5 + \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34} \cdot 5 + \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.12.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34} \cdot 5 + \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.12.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{34}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \cdot \sqrt{34} + \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.12.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34 \cdot 34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.12.1.4

Multipliez $34$ par $34$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34} + \sqrt{1156}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.12.1.5

Réécrivez $1156$ comme $34^{2}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34} + \sqrt{34^{2}}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.12.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34} + 34}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.12.2

Additionnez $25$ et $34$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{59 + 5 \sqrt{34} + 5 \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.12.3

Additionnez $5 \sqrt{34}$ et $5 \sqrt{34}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{59 + 10 \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.13

Associez $- 10$ et $\frac{59 + 10 \sqrt{34}}{9}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} + \frac{- 10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.15

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.15.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} + 3 (- 2) \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} + 3 \cdot - 2 \frac{5 + \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.1.2.1.15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 2 (5 + \sqrt{34}) + 1$

Étape 4.1.2.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 2 \cdot 5 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.1.17

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{10 (59 + 10 \sqrt{34})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (635 + 109 \sqrt{34}) - 10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 635 + 2 (109 \sqrt{34}) - 10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $2$ par $635$ .

$\frac{1270 + 2 (109 \sqrt{34}) - 10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.5.3

Multipliez $109$ par $2$ .

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} - 10 (59 + 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} + (- 10 \cdot 59 - 10 (10 \sqrt{34})) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.5.5

Multipliez $- 10$ par $59$ .

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} + (- 590 - 10 (10 \sqrt{34})) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.5.6

Multipliez $10$ par $- 10$ .

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} + (- 590 - 100 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} - 590 \cdot 3 - 100 \sqrt{34} \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.5.8

Multipliez $- 590$ par $3$ .

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} - 1770 - 100 \sqrt{34} \cdot 3}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.5.9

Multipliez $3$ par $- 100$ .

$\frac{1270 + 218 \sqrt{34} - 1770 - 300 \sqrt{34}}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.5.10

Soustrayez $1770$ de $1270$ .

$\frac{- 500 + 218 \sqrt{34} - 300 \sqrt{34}}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.5.11

Soustrayez $300 \sqrt{34}$ de $218 \sqrt{34}$ .

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34}}{27} - 10 - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.6

Pour écrire $- 10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34}}{27} - 10 \cdot \frac{27}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.7

Associez $- 10$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34}}{27} + \frac{- 10 \cdot 27}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34} - 10 \cdot 27}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $- 10$ par $27$ .

$\frac{- 500 - 82 \sqrt{34} - 270}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.8.3

Soustrayez $270$ de $- 500$ .

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34}}{27} - 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.1.2.9

Pour écrire $- 2 \sqrt{34}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34}}{27} - 2 \sqrt{34} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Étape 4.1.2.10

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.10.1

Associez $- 2 \sqrt{34}$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34}}{27} + \frac{- 2 \sqrt{34} \cdot 27}{27} + 1$

Étape 4.1.2.10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34} - 2 \sqrt{34} \cdot 27}{27} + 1$

Étape 4.1.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.11.1

Multipliez $27$ par $- 2$ .

$\frac{- 770 - 82 \sqrt{34} - 54 \sqrt{34}}{27} + 1$

Étape 4.1.2.11.2

Soustrayez $54 \sqrt{34}$ de $- 82 \sqrt{34}$ .

$\frac{- 770 - 136 \sqrt{34}}{27} + 1$

Étape 4.1.2.12

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1.2.12.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- 770 - 136 \sqrt{34}}{27} + \frac{27}{27}$

Étape 4.1.2.12.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.12.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 770 - 136 \sqrt{34} + 27}{27}$

Étape 4.1.2.12.2.2

Additionnez $- 770$ et $27$ .

$\frac{- 743 - 136 \sqrt{34}}{27}$

Étape 4.1.2.12.3

Réécrivez $- 743$ comme $- 1 (743)$ .

$\frac{- 1 (743) - 136 \sqrt{34}}{27}$

Étape 4.1.2.12.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 136 \sqrt{34}$ .

$\frac{- 1 (743) - (136 \sqrt{34})}{27}$

Étape 4.1.2.12.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (743) - (136 \sqrt{34})$ .

$\frac{- 1 (743 + 136 \sqrt{34})}{27}$

Étape 4.1.2.12.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{743 + 136 \sqrt{34}}{27}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{5 - \sqrt{34}}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 - \sqrt{34}}{3}$ .

$2 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 - \sqrt{34}}{3}$ .

$2 \frac{{(5 - \sqrt{34})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$2 \frac{{(5 - \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$2 \frac{5^{3} + 3 \cdot 5^{2} (- \sqrt{34}) + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.4.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$2 \frac{125 + 3 \cdot 5^{2} (- \sqrt{34}) + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$2 \frac{125 + 3 \cdot 25 (- \sqrt{34}) + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.3

Multipliez $3$ par $25$ .

$2 \frac{125 + 75 (- \sqrt{34}) + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $75$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 3 \cdot 5 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.5

Multipliez $3$ par $5$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 {(- \sqrt{34})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{34}$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{34}}^{2}) + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 (1 {\sqrt{34}}^{2}) + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.8

Multipliez ${\sqrt{34}}^{2}$ par $1$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 {\sqrt{34}}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.9

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

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Étape 4.2.2.1.4.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.4.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34^{1} + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.9.5

Évaluez l’exposant.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 15 \cdot 34 + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.10

Multipliez $15$ par $34$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 + {(- \sqrt{34})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{34}$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - {\sqrt{34}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.13

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{3}$ comme $\sqrt{34^{3}}$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - \sqrt{34^{3}}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.14

Élevez $34$ à la puissance $3$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - \sqrt{39304}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.15

Réécrivez $39304$ comme $34^{2} \cdot 34$ .

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Étape 4.2.2.1.4.15.1

Factorisez $1156$ à partir de $39304$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - \sqrt{1156 (34)}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.15.2

Réécrivez $1156$ comme $34^{2}$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - \sqrt{34^{2} \cdot 34}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - (34 \sqrt{34})}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.17

Multipliez $34$ par $- 1$ .

$2 \frac{125 - 75 \sqrt{34} + 510 - 34 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.5

Additionnez $125$ et $510$ .

$2 \frac{635 - 75 \sqrt{34} - 34 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.6

Soustrayez $34 \sqrt{34}$ de $- 75 \sqrt{34}$ .

$2 \frac{635 - 109 \sqrt{34}}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.7

Associez $2$ et $\frac{635 - 109 \sqrt{34}}{27}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 {(\frac{5 - \sqrt{34}}{3})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 - \sqrt{34}}{3}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{{(5 - \sqrt{34})}^{2}}{3^{2}} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{{(5 - \sqrt{34})}^{2}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.10

Réécrivez ${(5 - \sqrt{34})}^{2}$ comme $(5 - \sqrt{34}) (5 - \sqrt{34})$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{(5 - \sqrt{34}) (5 - \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.11

Développez $(5 - \sqrt{34}) (5 - \sqrt{34})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 (5 - \sqrt{34}) - \sqrt{34} (5 - \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{34}) - \sqrt{34} (5 - \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{34}) - \sqrt{34} \cdot 5 - \sqrt{34} (- \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.12.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 + 5 (- \sqrt{34}) - \sqrt{34} \cdot 5 - \sqrt{34} (- \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - \sqrt{34} \cdot 5 - \sqrt{34} (- \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} - \sqrt{34} (- \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.4

Multipliez $- \sqrt{34} (- \sqrt{34})$ .

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Étape 4.2.2.1.12.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 1 \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.4.2

Multipliez $\sqrt{34}$ par $1$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + \sqrt{34} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.4.3

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.4.4

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {\sqrt{34}}^{1 + 1}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {\sqrt{34}}^{2}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.5

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

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Étape 4.2.2.1.12.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34^{\frac{2}{2}}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.12.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34^{\frac{2}{2}}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34^{1}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{25 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34} + 34}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.2

Additionnez $25$ et $34$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{59 - 5 \sqrt{34} - 5 \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.12.3

Soustrayez $5 \sqrt{34}$ de $- 5 \sqrt{34}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - 10 \frac{59 - 10 \sqrt{34}}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.13

Associez $- 10$ et $\frac{59 - 10 \sqrt{34}}{9}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} + \frac{- 10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 6 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.15

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.15.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} + 3 (- 2) \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} + 3 \cdot - 2 \frac{5 - \sqrt{34}}{3} + 1$

Étape 4.2.2.1.15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 2 (5 - \sqrt{34}) + 1$

Étape 4.2.2.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 2 \cdot 5 - 2 (- \sqrt{34}) + 1$

Étape 4.2.2.1.17

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 10 - 2 (- \sqrt{34}) + 1$

Étape 4.2.2.1.18

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $- \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{10 (59 - 10 \sqrt{34})}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34})}{27} - \frac{10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (635 - 109 \sqrt{34}) - 10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 635 + 2 (- 109 \sqrt{34}) - 10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.5.2

Multipliez $2$ par $635$ .

$\frac{1270 + 2 (- 109 \sqrt{34}) - 10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.5.3

Multipliez $- 109$ par $2$ .

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} - 10 (59 - 10 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} + (- 10 \cdot 59 - 10 (- 10 \sqrt{34})) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.5.5

Multipliez $- 10$ par $59$ .

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} + (- 590 - 10 (- 10 \sqrt{34})) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.5.6

Multipliez $- 10$ par $- 10$ .

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} + (- 590 + 100 \sqrt{34}) \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} - 590 \cdot 3 + 100 \sqrt{34} \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.5.8

Multipliez $- 590$ par $3$ .

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} - 1770 + 100 \sqrt{34} \cdot 3}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.5.9

Multipliez $3$ par $100$ .

$\frac{1270 - 218 \sqrt{34} - 1770 + 300 \sqrt{34}}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.5.10

Soustrayez $1770$ de $1270$ .

$\frac{- 500 - 218 \sqrt{34} + 300 \sqrt{34}}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.5.11

Additionnez $- 218 \sqrt{34}$ et $300 \sqrt{34}$ .

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34}}{27} - 10 + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.6

Pour écrire $- 10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34}}{27} - 10 \cdot \frac{27}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.7

Associez $- 10$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34}}{27} + \frac{- 10 \cdot 27}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34} - 10 \cdot 27}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.8.2

Multipliez $- 10$ par $27$ .

$\frac{- 500 + 82 \sqrt{34} - 270}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.8.3

Soustrayez $270$ de $- 500$ .

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34}}{27} + 2 \sqrt{34} + 1$

Étape 4.2.2.9

Pour écrire $2 \sqrt{34}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34}}{27} + 2 \sqrt{34} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Étape 4.2.2.10

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.10.1

Associez $2 \sqrt{34}$ et $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34}}{27} + \frac{2 \sqrt{34} \cdot 27}{27} + 1$

Étape 4.2.2.10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34} + 2 \sqrt{34} \cdot 27}{27} + 1$

Étape 4.2.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.11.1

Multipliez $27$ par $2$ .

$\frac{- 770 + 82 \sqrt{34} + 54 \sqrt{34}}{27} + 1$

Étape 4.2.2.11.2

Additionnez $82 \sqrt{34}$ et $54 \sqrt{34}$ .

$\frac{- 770 + 136 \sqrt{34}}{27} + 1$

Étape 4.2.2.12

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.2.2.12.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- 770 + 136 \sqrt{34}}{27} + \frac{27}{27}$

Étape 4.2.2.12.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.12.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 770 + 136 \sqrt{34} + 27}{27}$

Étape 4.2.2.12.2.2

Additionnez $- 770$ et $27$ .

$\frac{- 743 + 136 \sqrt{34}}{27}$

Étape 4.2.2.12.3

Réécrivez $- 743$ comme $- 1 (743)$ .

$\frac{- 1 (743) + 136 \sqrt{34}}{27}$

Étape 4.2.2.12.4

Factorisez $- 1$ à partir de $136 \sqrt{34}$ .

$\frac{- 1 (743) - (- 136 \sqrt{34})}{27}$

Étape 4.2.2.12.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (743) - (- 136 \sqrt{34})$ .

$\frac{- 1 (743 - 136 \sqrt{34})}{27}$

Étape 4.2.2.12.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{743 - 136 \sqrt{34}}{27}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{5 + \sqrt{34}}{3}, - \frac{743 + 136 \sqrt{34}}{27}), (\frac{5 - \sqrt{34}}{3}, - \frac{743 - 136 \sqrt{34}}{27})$

Étape 5