Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $12 x^{2} + 6 x - 6$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ .

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ .

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Multipliez par $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ .

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 (\frac{1}{8}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 \frac{1}{4 (2)} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.8

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 (- 3) \frac{1}{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Étape 4.1.2.2.3

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} + 1$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Étape 4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + 1$

Étape 4.1.2.2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

Étape 4.1.2.2.7

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.1.2.2.8

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 4.1.2.2.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + 3 - 3 \cdot 4 + 4}{4}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{2 + 3 - 12 + 4}{4}$

Étape 4.1.2.4.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{5 - 12 + 4}{4}$

Étape 4.1.2.4.3

Soustrayez $12$ de $5$ .

$\frac{- 7 + 4}{4}$

Étape 4.1.2.4.4

Additionnez $- 7$ et $4$ .

$\frac{- 3}{4}$

Étape 4.1.2.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$4 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 4 + 3 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 1$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 4 + 3 - 6 \cdot - 1 + 1$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$- 4 + 3 + 6 + 1$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $- 4$ et $3$ .

$- 1 + 6 + 1$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$5 + 1$

Étape 4.2.2.2.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$6$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4}), (- 1, 6)$

Étape 5