Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{4} - 10 x^{2} + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - 10 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 x^{3} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$20 x^{3} - 20 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 x^{3} - 20 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $20 x^{3} - 20 x$ et $0$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 20 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $20 x^{3} - 20 x$ .

$20 x^{3} - 20 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $20 x^{3} - 20 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$20 x^{3} - 20 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $20 x$ à partir de $20 x^{3} - 20 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $20 x$ à partir de $20 x^{3}$ .

$20 x (x^{2}) - 20 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $20 x$ à partir de $- 20 x$ .

$20 x (x^{2}) + 20 x (- 1) = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $20 x$ à partir de $20 x (x^{2}) + 20 x (- 1)$ .

$20 x (x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$20 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$20 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$20 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $20 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $5 x^{4} - 10 x^{2} + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$5 {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 \cdot 0 - 10 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$0 - 10 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 10 \cdot 0 + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$0 + 0 + 1$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 1$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$5 {(- 1)}^{4} - 10 {(- 1)}^{2} + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$5 \cdot 1 - 10 {(- 1)}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 - 10 {(- 1)}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$5 - 10 \cdot 1 + 1$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$5 - 10 + 1$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $10$ de $5$ .

$- 5 + 1$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 5$ et $1$ .

$- 4$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$5 {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{2} + 1$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 \cdot 1 - 10 {(1)}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 - 10 {(1)}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 - 10 \cdot 1 + 1$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$5 - 10 + 1$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.3.2.2.1

Soustrayez $10$ de $5$ .

$- 5 + 1$

Étape 4.3.2.2.2

Additionnez $- 5$ et $1$ .

$- 4$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 1), (- 1, - 4), (1, - 4)$

Étape 5