Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{2} + 4 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 x + 4 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = 10 x + 4$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $10 x + 4$ .

$10 x + 4$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $10 x + 4 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$10 x + 4 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$10 x = - 4$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $10 x = - 4$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $10 x = - 4$ par $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{10}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $10$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{10}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 2}{5}$

Étape 2.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{5}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $5 x^{2} + 4 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{2}{5}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{2}{5}$ .

$5 {(- \frac{2}{5})}^{2} + 4 (- \frac{2}{5})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{5}$ .

$5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{5})$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$5 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5})$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$5 (1 \frac{2^{2}}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5})$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$5 \frac{2^{2}}{5^{2}} + 4 (- \frac{2}{5})$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$5 \frac{4}{5^{2}} + 4 (- \frac{2}{5})$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$5 (\frac{4}{25}) + 4 (- \frac{2}{5})$

Étape 4.1.2.1.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$5 \frac{4}{5 (5)} + 4 (- \frac{2}{5})$

Étape 4.1.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{4}{5 \cdot 5} + 4 (- \frac{2}{5})$

Étape 4.1.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{5} + 4 (- \frac{2}{5})$

Étape 4.1.2.1.7

Multipliez $4 (- \frac{2}{5})$ .

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Étape 4.1.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4}{5} - 4 (\frac{2}{5})$

Étape 4.1.2.1.7.2

Associez $- 4$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 2}{5}$

Étape 4.1.2.1.7.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{4}{5} + \frac{- 8}{5}$

Étape 4.1.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{5} - \frac{8}{5}$

Étape 4.1.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 8}{5}$

Étape 4.1.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{- 4}{5}$

Étape 4.1.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{5}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- \frac{2}{5}, - \frac{4}{5})$

Étape 5