Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $7$ .

$21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$21 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$21 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$21 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$21 x^{2} - 12 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $21 x^{2} - 12 x$ et $0$ .

$f' (x) = 21 x^{2} - 12 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $21 x^{2} - 12 x$ .

$21 x^{2} - 12 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $21 x^{2} - 12 x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$21 x^{2} - 12 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $21 x^{2} - 12 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $21 x^{2}$ .

$3 x (7 x) - 12 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 12 x$ .

$3 x (7 x) + 3 x (- 4) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (7 x) + 3 x (- 4)$ .

$3 x (7 x - 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$7 x - 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $7 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $7 x - 4$ égal à $0$ .

$7 x - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $7 x - 4 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x = 4$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = 4$ par $7$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = 4$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{7}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (7 x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{4}{7}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $7 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$7 {(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$7 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $7$ par $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 0 + 1$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 1$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{4}{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{4}{7}$ .

$7 {(\frac{4}{7})}^{3} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{7}$ .

$7 \frac{4^{3}}{7^{3}} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$7 \frac{64}{7^{3}} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$7 (\frac{64}{343}) - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.1

Factorisez $7$ à partir de $343$ .

$7 \frac{64}{7 (49)} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{64}{7 \cdot 49} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{64}{49} - 6 {(\frac{4}{7})}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{7}$ .

$\frac{64}{49} - 6 \frac{4^{2}}{7^{2}} + 1$

Étape 4.2.2.1.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{64}{49} - 6 \frac{16}{7^{2}} + 1$

Étape 4.2.2.1.7

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\frac{64}{49} - 6 (\frac{16}{49}) + 1$

Étape 4.2.2.1.8

Multipliez $- 6 (\frac{16}{49})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.8.1

Associez $- 6$ et $\frac{16}{49}$ .

$\frac{64}{49} + \frac{- 6 \cdot 16}{49} + 1$

Étape 4.2.2.1.8.2

Multipliez $- 6$ par $16$ .

$\frac{64}{49} + \frac{- 96}{49} + 1$

Étape 4.2.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{64}{49} - \frac{96}{49} + 1$

Étape 4.2.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{64 - 96}{49}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.2.1

Soustrayez $96$ de $64$ .

$1 + \frac{- 32}{49}$

Étape 4.2.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{32}{49}$

Étape 4.2.2.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{49}{49} - \frac{32}{49}$

Étape 4.2.2.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{49 - 32}{49}$

Étape 4.2.2.2.2.5

Soustrayez $32$ de $49$ .

$\frac{17}{49}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 1), (\frac{4}{7}, \frac{17}{49})$

Étape 5