Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x {(4 - x)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(4 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{3}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 4 - x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \cdot 1) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \cdot 1$

Étape 1.1.3.9

Multipliez ${(4 - x)}^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Factorisez ${(4 - x)}^{2}$ à partir de $x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Factorisez ${(4 - x)}^{2}$ à partir de $x (- 3 {(4 - x)}^{2})$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{3}$

Étape 1.1.4.1.2

Factorisez ${(4 - x)}^{2}$ à partir de ${(4 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$

Étape 1.1.4.1.3

Factorisez ${(4 - x)}^{2}$ à partir de ${(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 - x)$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.2.1

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 3 \cdot x + 4 - x)$

Étape 1.1.4.2.2

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.3

Réécrivez ${(4 - x)}^{2}$ comme $(4 - x) (4 - x)$ .

$f' (x) = (4 - x) (4 - x) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.4

Développez $(4 - x) (4 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (4 (4 - x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.5.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$f' (x) = (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.5.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.5.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.5.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.5.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.5.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.5.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = (16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

Étape 1.1.4.6

Développez $(16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f' (x) = 16 (- 4 x) + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.7.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$f' (x) = - 64 x + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x \cdot x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.7.4.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x^{2}) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7.5

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7.6

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.7.8.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.4.7.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4$

Étape 1.1.4.7.9

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Étape 1.1.4.8

Soustrayez $32 x$ de $- 64 x$ .

$f' (x) = - 96 x + 64 + 32 x^{2} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Étape 1.1.4.9

Additionnez $32 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$f' (x) = - 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ .

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 96 x$ .

$4 (- 24 x) + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$4 (- 24 x) + 4 (16) - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 36 x^{2} = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $36 x^{2}$ .

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 24 x) + 4 (16)$ .

$4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3})$ .

$4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Étape 2.2.1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2})$ .

$4 (- 24 x + 16 - x^{3} + 9 x^{2}) = 0$

Étape 2.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 (- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.3.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.3.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Étape 2.2.3.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.3.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Étape 2.2.3.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Étape 2.2.3.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Étape 2.2.3.1.3.4

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 9 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 16$

Étape 2.2.3.1.3.5

Multipliez $9$ par $1$ .

$- 1 + 9 - 24 \cdot 1 + 16$

Étape 2.2.3.1.3.6

Additionnez $- 1$ et $9$ .

$8 - 24 \cdot 1 + 16$

Étape 2.2.3.1.3.7

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$8 - 24 + 16$

Étape 2.2.3.1.3.8

Soustrayez $24$ de $8$ .

$- 16 + 16$

Étape 2.2.3.1.3.9

Additionnez $- 16$ et $16$ .

$0$

Étape 2.2.3.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16}{x - 1}$

Étape 2.2.3.1.5

Divisez $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ par $x - 1$ .

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Étape 2.2.3.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Étape 2.2.3.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$

Étape 2.2.3.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.2.3.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.2.3.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Étape 2.2.3.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Étape 2.2.3.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Étape 2.2.3.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 2.2.3.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x^{2} - 8 x$

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 2.2.3.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$

Étape 2.2.3.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

Étape 2.2.3.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

Étape 2.2.3.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Étape 2.2.3.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 16 x + 16$

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Étape 2.2.3.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$
										$0$

Étape 2.2.3.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} + 8 x - 16$

Étape 2.2.3.1.6

Écrivez $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez.

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Étape 2.2.4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.4.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 2.2.4.1.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 (x) - 16) = 0$

Étape 2.2.4.1.1.2

Réécrivez $8$ comme $4$ plus $4$

$4 (x - 1) (- x^{2} + (4 + 4) x - 16) = 0$

Étape 2.2.4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 4 x + 4 x - 16) = 0$

Étape 2.2.4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.4.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$4 (x - 1) ((- x^{2} + 4 x) + 4 x - 16) = 0$

Étape 2.2.4.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 (x - 1) (x (- x + 4) - 4 (- x + 4)) = 0$

Étape 2.2.4.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 4$ .

$4 (x - 1) ((- x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 1) (- x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 2.2.5

Associez les exposants.

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Étape 2.2.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$4 (x - 1) (- (x) + 4) (x - 4) = 0$

Étape 2.2.5.2

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$4 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot - 4) (x - 4) = 0$

Étape 2.2.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$4 (x - 1) (- (x - 4)) (x - 4) = 0$

Étape 2.2.5.4

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$4 (x - 1) (- 1 (x - 4)) (x - 4) = 0$

Étape 2.2.5.5

Supprimez les parenthèses.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 (x - 4) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.5.6

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

Étape 2.2.5.7

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

Étape 2.2.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}) = 0$

Étape 2.2.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{2}) = 0$

Étape 2.2.5.10

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.5.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 1, 4$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x {(4 - x)}^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$(1) {(4 - (1))}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez ${(4 - (1))}^{3}$ par $1$ .

${(4 - (1))}^{3}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(4 - 1)}^{3}$

Étape 4.1.2.3

Soustrayez $1$ de $4$ .

$3^{3}$

Étape 4.1.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$(4) {(4 - (4))}^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 {(4 - 4)}^{3}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$4 \cdot 0^{3}$

Étape 4.2.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(1, 27), (4, 0)$

Étape 5