Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 1.1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 1.1.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 1.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Étape 1.1.7

Associez $2$ et $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8

Simplifiez

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Étape 1.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.8.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.8.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.8.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 2 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}$ .

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Étape 1.1.8.4.2.1

Soustrayez $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x + 0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.2.2

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.8.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.8.6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.8.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Étape 1.1.8.6.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2.2.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.2.2.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.2.3

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2.3.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.2.3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Étape 4

Évaluez $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{2 {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{0^{2} - 1}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{0 - 1}$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{- 1}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Étape 4.1.2.3.2

Divisez $0$ par $- 1$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} - 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{1 - 1}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{0}$

Étape 4.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{2 {(1)}^{2}}{{(1)}^{2} - 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 {(1)}^{2}}{1 - 1}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 {(1)}^{2}}{0}$

Étape 4.3.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0)$

Étape 5