Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x - 1}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 1.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

Étape 1.1.4

Simplifiez

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

Étape 1.1.5.2

Multipliez ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

Étape 1.1.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.11

Associez les fractions.

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Étape 1.1.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.11.3

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.11.4

Associez $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)}{x - 1})$

Étape 1.1.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{x - 1})$

Étape 1.1.14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)}{x - 1})$

Étape 1.1.15

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.15.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 1})$

Étape 1.1.15.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Étape 1.1.16

Pour écrire ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Étape 1.1.17

Associez ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Étape 1.1.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Étape 1.1.19

Multipliez ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.19.1

Déplacez ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Étape 1.1.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Étape 1.1.19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Étape 1.1.19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Étape 1.1.19.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Étape 1.1.20

Simplifiez ${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Étape 1.1.21

Déplacez $2$ à gauche de $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{2 \cdot (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Étape 1.1.22

Réécrivez $\frac{\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$ comme un produit.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 1})$

Étape 1.1.23

Multipliez $\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x - 1}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)})$

Étape 1.1.24

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 ((x - 1) {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Étape 1.1.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.26

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.26.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Étape 1.1.26.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Étape 1.1.26.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Étape 1.1.27

Associez $2$ et $\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x - 1) - x)}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.28

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (2 (x - 1) - x)}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.29

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.30

Simplifiez

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Étape 1.1.30.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 1 - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.30.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.30.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.30.2.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x - 2 = 0$

Étape 2.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{x - 2}{\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 2}{\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(x - 1)}^{3}}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 1)}^{3} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{{(x - 1)}^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 1)}^{3} < 0$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 3.5.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x - 1 < \sqrt[3]{0}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x - 1 < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x - 1 < 0$

Étape 3.5.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x < 1$

Étape 3.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

Étape 4

Évaluez $\frac{2 x}{\sqrt{x - 1}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{2 (2)}{\sqrt{(2) - 1}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{2 - 1}}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{1}}$

Étape 4.1.2.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{4}{1}$

Étape 4.1.2.3

Divisez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{2 (1)}{\sqrt{(1) - 1}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{2 (1)}{\sqrt{1 - 1}}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 (1)}{\sqrt{0}}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2 (1)}{\sqrt{0^{2}}}$

Étape 4.2.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 (1)}{0}$

Étape 4.2.2.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(2, 4)$

Étape 5