Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x - 2)}^{- 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = - {(x - 2)}^{- 2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- {(x - 2)}^{- 2}$ .

$- {(x - 2)}^{- 2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- {(x - 2)}^{- 2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- {(x - 2)}^{- 2} = 0$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 2.3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.4

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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