Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $x^{2} - 4$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.1.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = 4$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez $4$ par $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Étape 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 2.3.4.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 2.3.4.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.3.4.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 2.3.4.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Étape 3.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.2.3

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Définissez ${(x + 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 3.2.3.2

Résolvez ${(x + 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.2.3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.2.4

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.4.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.2.4.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.4.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.2.4.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Étape 4

Évaluez $\frac{x}{x^{2} - 4}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 2}{4 - 4}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{- 2}{0}$

Étape 4.1.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{4 - 4}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{2}{0}$

Étape 4.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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