Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[5]{x - 5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x - 5}$ comme ${(x - 5)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{5}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ et $g (x) = x - 5$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 5$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{1}{5}$ et ${(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.1.10

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (1 + 0)$

Étape 1.1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} \cdot 1$

Étape 1.1.11.2

Multipliez $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${(5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}$ comme ${(x - 5)}^{\frac{4}{5}}$ .

${(5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}$ .

$5^{5} {({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$3125 {({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 {(x - 5)}^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3125 {(x - 5)}^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3125 {(x - 5)}^{4} = 0$ par $3125$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $3125 {(x - 5)}^{4} = 0$ par $3125$ .

$\frac{3125 {(x - 5)}^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 3.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3125$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3125 {(x - 5)}^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 3.3.3.1.2.1.2

Divisez ${(x - 5)}^{4}$ par $1$ .

${(x - 5)}^{4} = \frac{0}{3125}$

Étape 3.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $3125$ .

${(x - 5)}^{4} = 0$

Étape 3.3.3.2

Définissez le $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 3.3.3.3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4

Évaluez $\sqrt[5]{x - 5}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$\sqrt[5]{(5) - 5}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\sqrt[5]{0}$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$\sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 4.1.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$0$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(5, 0)$

Étape 5