Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ comme ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 1.1.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Étape 1.1.12

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$

Étape 1.1.13

Simplifiez

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Étape 1.1.13.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.13.2

Multipliez $2 x - 2$ par $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.13.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

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Étape 1.1.13.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.13.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.13.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (x - 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (x - 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ comme ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 3.3.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$27 {(x \cdot x - 2 x)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$27 {(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$27 {(x (x - 2))}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.1.2

Factorisez.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $x (x - 2)$ .

$27 (x^{2} {(x - 2)}^{2}) = 0$

Étape 3.3.3.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 3.3.3.3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.3.3.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.3.3.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.3.3.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.3.3.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3.3.4

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.4.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.4.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.4.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.3.3.4.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.3.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 3.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = 0, x = 2$

Étape 4

Évaluez $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\sqrt[3]{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt[3]{1 - 2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\sqrt[3]{1 - 2}$

Étape 4.1.2.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\sqrt[3]{- 1}$

Étape 4.1.2.4

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}$

Étape 4.1.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$- 1$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt[3]{0 - 2 \cdot 0}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\sqrt[3]{0 + 0}$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\sqrt[3]{0}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.2.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\sqrt[3]{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 4}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Étape 4.3.2.4

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(1, - 1), (0, 0), (2, 0)$

Étape 5