Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.4.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4

Évaluez $\frac{x}{x - 1}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{(1) - 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{0}$

Étape 4.1.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé