Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 4 \sqrt{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.1.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.1.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.1.2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.1.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.2.10

Associez $- 4$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.1.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2.12

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.1.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{\frac{3}{2}} = 2$

Étape 2.4.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.4.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{2}{3}} x^{1} = 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.3

Simplifiez

$2^{\frac{2}{3}} x = 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.3.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2^{\frac{2}{3}} x$ .

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ par $2^{\frac{2}{3}}$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ par $2^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.4.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$x = 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{\sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 3.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 4

Évaluez $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{2} - 4 \sqrt{1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 4 \sqrt{1}$

Étape 4.1.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1 - 4 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$1 - 4$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 3$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} - 4 \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 4 \sqrt{0}$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$0 - 4 \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$0 - 4 \cdot 0$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(1, - 3), (0, 0)$

Étape 5