Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 135 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 6 x^{2} - 135 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 135 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 135 x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 135 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 135 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 135 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 135 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 135 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 135$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 135 x$ par rapport à $x$ est $- 135 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 12 x - 135 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 12 x - 135 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 135$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x - 135$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 12 x - 135$ .

$3 x^{2} + 12 x - 135$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 12 x - 135 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 12 x - 135 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 12 x - 135$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 12 x - 135 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (4 x) - 135 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 135$ .

$3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot - 45 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (4 x)$ .

$3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot - 45 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot - 45$ .

$3 (x^{2} + 4 x - 45) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 4 x - 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 45$ et dont la somme est $4$ .

$- 5, 9$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 5) (x + 9)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 5) (x + 9) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 9 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.5

Définissez $x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 9$ égal à $0$ .

$x + 9 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 5) (x + 9) = 0$ vraie.

$x = 5, - 9$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{3} + 6 x^{2} - 135 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $5$ .

${(5)}^{3} + 6 {(5)}^{2} - 135 \cdot 5$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$125 + 6 {(5)}^{2} - 135 \cdot 5$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$125 + 6 \cdot 25 - 135 \cdot 5$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $6$ par $25$ .

$125 + 150 - 135 \cdot 5$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 135$ par $5$ .

$125 + 150 - 675$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $125$ et $150$ .

$275 - 675$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $675$ de $275$ .

$- 400$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 9$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 9$ .

${(- 9)}^{3} + 6 {(- 9)}^{2} - 135 \cdot - 9$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 9$ à la puissance $3$ .

$- 729 + 6 {(- 9)}^{2} - 135 \cdot - 9$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$- 729 + 6 \cdot 81 - 135 \cdot - 9$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $6$ par $81$ .

$- 729 + 486 - 135 \cdot - 9$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 135$ par $- 9$ .

$- 729 + 486 + 1215$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $- 729$ et $486$ .

$- 243 + 1215$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 243$ et $1215$ .

$972$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(5, - 400), (- 9, 972)$

Étape 5