Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} + 9 x^{2} - 53$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 53]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 53]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 53]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 53]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 53]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 53]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 53]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 53]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 53$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 53$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $- 3 x^{2} + 18 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 18 x$ .

$- 3 x^{2} + 18 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 18 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{2} + 18 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 18 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $18 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 6 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x (x) - 3 x (- 6)$ .

$- 3 x (x - 6) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 3 x (x - 6) = 0$ vraie.

$x = 0, 6$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $- x^{3} + 9 x^{2} - 53$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$- {(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} - 53$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 0 + 9 {(0)}^{2} - 53$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 9 {(0)}^{2} - 53$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 9 \cdot 0 - 53$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $9$ par $0$ .

$0 + 0 - 53$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 53$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $53$ de $0$ .

$- 53$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$- {(6)}^{3} + 9 {(6)}^{2} - 53$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 216 + 9 {(6)}^{2} - 53$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $216$ .

$- 216 + 9 {(6)}^{2} - 53$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$- 216 + 9 \cdot 36 - 53$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $9$ par $36$ .

$- 216 + 324 - 53$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $- 216$ et $324$ .

$108 - 53$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $53$ de $108$ .

$55$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, - 53), (6, 55)$

Étape 5